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2.3 : Un raisonnement dimensionnel et ses conséquences - Géosciences


Obtenir les bonnes dimensions

Comme toute équation physiquement correcte, l'équation 2.2.1 doit représenter l'égalité non seulement de grandeurs mais aussi de dimensions. Ainsi, quelle que soit la forme du ou des termes du membre de droite de l'équation 2.2.1, les variables (U), (D), ( ho) et (mu) doivent se combiner dans de telle manière que chaque terme a les dimensions de la force, parce que le côté gauche a les dimensions de la force. La liste suivante donne les dimensions de chacune des cinq variables impliquées dans l'écoulement au-delà d'une sphère, en termes de masse (mathrm{M}), de longueur (mathrm{L}) et de temps (mathrm {T}) :

(egin{array}{ll}{F_{D}} & {-quad mathrm{ML} / mathrm{T}^{2}} {U} & {-quadmathrm{ L} / mathrm{T}} {D} & {-quadmathrm{L}} { ho} & {-quadmathrm{M} / mathrm{L}^{3 }} {mu} & {-quadmathrm{M} / mathrm{LT}}end{array})

La seule variable ici dont les dimensions ne sont pas simples est (mu); les dimensions (mathrm{M} / mathrm{L} mathrm{T}) sont obtenues en utilisant l'équation 1.3.6, par laquelle (mu) est défini.

Il est avantageux de réécrire des équations comme l'équation 2.2.1 sous une forme sans dimension. Pour ce faire, rendez d'abord le côté gauche sans dimension en divisant (F_{D}) par un produit de variables indépendantes qui a lui-même les dimensions de la force. En utilisant la liste des dimensions ci-dessus, vous pouvez vérifier que ( ho U^{2} D^{2}) a les dimensions de la force :

( ho U^{2} D^{2} : left(mathrm{M} / mathrm{L}^{3} ight)(mathrm{L} / mathrm{T})^ {2}(mathrm{L})^{2}=mathrm{ML} / mathrm{T}^{2})

Ainsi, la division du côté gauche de l'équation 2.2.1 par ( ho U^{2} D^{2}) rend le côté gauche de l'équation sans dimension. Le résultat, (F_{D} / ho U^{2} D^{2}), peut être considéré comme une forme sans dimension de (F_{D}). Cela laisse le côté droit de l'équation 2.2.1 à rendre sans dimension. Il existe une et une seule façon de combiner les quatre variables (U), (D), ( ho) et (mu) en une variable sans dimension, à savoir ( ho UD / mu):

( ho UD / mu): (left(mathrm{M} / mathrm{L}^{3} ight)(mathrm{L} / mathrm{T})(mathrm {L}) /(mathrm{M} / mathrm{LT})) ... (mathrm{M}), (mathrm{L}), (mathrm{T} ) Annuler

(Cette affirmation n'est pas strictement vraie, mais toutes les autres possibilités sont simplement ( ho UD / mu) élevées à une certaine puissance, et elles ne sont pas indépendantes de ( ho UD / mu).) Donc, peu importe la forme de la fonction (f), le côté droit de la forme sans dimension de l'équation 2.2.1 peut être écrit en utilisant une seule variable sans dimension :

[frac{F_{D}}{ ho U^{2} D^{2}}=fleft(frac{ ho U D}{mu} ight) label{dimensionless} ]

Une fonction simplifiée

L'équation ef{dimensionless} est une forme équivalente mais sans dimension de l'équation 2.2.1. Le grand avantage de l'équation sans dimension est qu'elle ne fait intervenir que deux variables : une variable dépendante sans dimension (F_{D} / ho U^{2} D^{2}) et une variable indépendante sans dimension ( ho UD / mu)—au lieu des cinq originaux. Pensez à l'énorme économie d'effort que cela implique pour un programme expérimental pour caractériser la force de traînée. Si vous deviez mesurer (F_{D}) en fonction de chacune des quatre variables tout en maintenant les trois autres constantes, vous généreriez des montagnes de données et de graphiques. Mais l'équation ef{dimensionless} vous dit que (U), (D), ( ho) et (mu) n'ont besoin d'être modifiés que pour faire ( ho UD / mu) varient. Tous les points expérimentaux pour (F_{D} / ho U^{2} D^{2}) obtenus en faisant varier ( ho UD / mu) doivent être tracés comme une courbe dans un graphique avec ces deux variables le long des axes. Quelles que soient les valeurs de (U), (D), ( ho) et (mu), toutes les réalisations possibles d'écoulement au-delà d'une sphère sont exprimées par une seule courbe. Cette courbe est illustrée à la figure (PageIndex{1}) avec certains des points expérimentaux qui ont été utilisés pour la définir. La physique derrière la courbe est discutée au chapitre 3, après plus d'informations sur les principes de la dynamique des fluides. Et vous pouvez trouver la courbe en faisant varier une seule des quatre variables (U), (D), ( ho) et (mu)—bien que vous ne puissiez peut-être pas obtenir une très large gamme de valeurs de ( ho UD / mu) en faisant varier une seule de ces variables. Un assez petit nombre d'expériences impliquant des valeurs des variables indépendantes d'origine qui se sont combinées pour couvrir un large éventail de ( ho U D / mu) suffiraient à caractériser toutes les autres combinaisons possibles de variables indépendantes. C'est parce que chaque point du graphique sans dimension représente un grand nombre de combinaisons possibles différentes des variables d'origine - une infinité de celles-ci, en fait. Vous gagnez ainsi une capacité prédictive de grande envergure sur la base d'un effort d'observation relativement faible.

Un sceptique pourrait trouver tout cela trop beau pour être vrai. Mais le fait est que c'est ainsi que les choses fonctionnent, et l'analyse du flux au-delà d'une sphère n'est qu'un bon exemple. Une mise en garde s'impose cependant. Il est prudent de faire varier autant de variables sur une plage aussi large que possible ; cela ne prend pas un nombre énorme d'observations, et c'est un contrôle sur l'exactitude de votre analyse. Vous verrez ci-dessous plus en détail que s'il existe un plus grand nombre de variables importantes que vous ne le pensez, vos points de données formeraient une bande dispersée plutôt qu'une courbe unique. Ensuite, si vous variiez une seule variable pour essayer de trouver la courbe, vous obtiendriez effectivement une courbe, mais ce ne serait pas la courbe que vous recherchiez ; il vous manquerait la dispersion qui se manifesterait si vous variiez également les autres variables.

Plusieurs remarques

Première, les variables de la forme ( ho U D / mu) sont appelées nombres de Reynolds, généralement désigné par (mathrm{Re}). Chaque fois que la densité et la viscosité sont importantes dans un problème et qu'une variable de longueur et une vitesse sont impliquées, un nombre de Reynolds peut être formé et utilisé. Il existe donc de nombreux nombres de Reynolds différents, avec des variables de longueur et de vitesse différentes selon le problème particulier. Vous en rencontrerez d'autres dans les chapitres suivants.

Seconde, pour l'écoulement stationnaire que nous avons supposé, les variables (U), (D), ( ho) et (mu) caractérisent non seulement tout ce qui concerne les distributions de contrainte de cisaillement et de pression sur toute la surface de la sphère, ce qui donne (F_{D}), mais aussi les distributions de la contrainte de cisaillement, de la pression et de la vitesse du fluide en chaque point du fluide environnant. Comme ( ho U D / mu) remplace ces quatre variables du côté droit de l'équation ef{dimensionless}, on peut en dire autant du nombre de Reynolds. Tout ce que vous pourriez vouloir considérer concernant les forces et les mouvements peut être considéré comme étant complètement spécifié par le nombre de Reynolds.

La troisième, il y a une autre conséquence importante du fait que chaque point sur la courbe de (F_{D} / ho U^{2} D^{2}) vs. ( ho UD / mu) représente une infinité de combinaisons de (U), (D), ( ho) et (mu). Supposons que vous vouliez trouver la force de traînée exercée par un certain écoulement sur une sphère trop grande pour tenir dans votre laboratoire ou votre sous-sol. Vous pouvez travailler avec une sphère beaucoup plus petite en ajustant les valeurs de (U), ( ho) et (mu) de sorte que ( ho UD / mu) soit le même que dans le flux en question au-delà de la grande sphère (Figure (PageIndex{2})). Ensuite, à partir de la courbe de la figure (PageIndex{1}), la valeur de (F_{D} / ho U^{2} D^{2}) est également la même, et à partir de celle-ci, vous pouvez trouver la force de traînée (F_{D}) sur la grande sphère en substituant les valeurs correspondantes de (U), (D) et ( ho). Ou, d'un autre côté, vous pouvez étudier l'écoulement autour d'une très petite sphère en utilisant une sphère beaucoup plus grande, avec la même confiance totale dans les résultats (Figure (PageIndex{2})). C'est l'essence de la modélisation à l'échelle : l'étude d'un système physique par l'utilisation d'un autre à une échelle physique plus ou moins grande mais avec des variables ajustées de sorte que toutes les forces et tous les mouvements dans les deux systèmes soient dans les mêmes proportions. La figure (PageIndex{2}) montre comment vous pouvez utiliser l'écoulement autour d'une petite sphère de diamètre (D_{m}) pour modéliser l'écoulement autour d'une sphère beaucoup plus grande de diamètre (D_{o}). Il faudrait ajuster les vitesses d'écoulement (U_{m}) et (U_{o}), ainsi que les viscosités des fluides (mu_{m}) et (mu_{o} ) et les densités fluides ( ho_{m}) et ( ho_{o}), de sorte que le nombre de Reynolds (mathrm{Re}_{m}), égal à ( ho_ {m} U_{m} D_{m} / mu_{m}), dans le modèle est le même que le nombre de Reynolds (mathrm{Re}_{o}), égal à ( ho_ {o} U_{o} D_{o} / mu_{o}), dans le flux à grande échelle. Alors toutes les forces et tous les mouvements sont dans la même proportion dans les deux flux, et, plus précisément, la force de traînée sans dimension, ou le coefficient de traînée, est le même dans les deux flux. Malgré la grande différence d'échelle physique, les deux flux sont représentés par le même point sur le graphique du coefficient de traînée en fonction du nombre de Reynolds, donc tout ce qui concerne les deux flux, à condition qu'il soit exprimé sous une forme sans dimension, est le même dans les deux flux. Chaque point sur la courbe de (F_{D} / ho U^{2} D^{2}) vs. ( ho UD / mu) représente un nombre infini d'expériences possibles, dont chacune est un modèle réduit de tous les autres !

Quatrième, dans la figure (PageIndex{1}), la force de traînée sans dimension est écrite sous une forme conventionnelle légèrement différente de celle dérivée ci-dessus : (F_{D} /left( ho U^{2} / 2 ight) A), où (A) est l'aire de la section transversale de la sphère, égale à (pi D^{2} / 4). Celui-ci diffère de (F_{D} / ho U^{2} D^{2}) par le facteur (pi / 8), mais ses dimensions sont exactement les mêmes. On l'appelle généralement un coefficient de traînée, noté (C_{D}); vous pouvez voir pourquoi ce terme est apparu en écrivant

[F_{D}=C_{D} frac{ ho U^{2}}{2} A label{2.3} ]

où le facteur (left( ho U^{2} / 2 ight) A) du côté droit a des dimensions de force. La relation fonctionnelle entre la force de traînée sans dimension et le nombre de Reynolds dans l'équation ef{dimensionless} peut être écrite sous une forme entièrement équivalente en utilisant (C_{D}):

[C_{D}=frac{FD}{frac{ ho U^{2}}{2} A}=fleft(frac{ ho UD}{mu} ight) label {2.4} ]

Cinquième, il existe des versions alternatives de la variable dépendante sans dimension. Diviser par ( ho U^{2} D^{2}) n'est pas le seul moyen de ne pas dimensionner (F_{D}). Vous pouvez vérifier par vous-même que (F_{D} / mu UD), ( ho F_{D} / mu^{2}) et (F_{D} / mu U) sont d'autres possibilités, obtenues en combinant (F_{D}) avec les quatre variables ( ho), (mu), (U) et (D) prises trois à la fois . (Vous verrez dans la section suivante comment dériver de telles variables.) Parfois, comme dans les deux derniers cas, l'une des variables abandonne ; cela se produit lorsque (mathrm{M}) ou (mathrm{L}) ou (mathrm{T}) apparaît dans une seule des quatre variables choisies. N'importe laquelle de ces trois variables dépendantes sans dimension alternatives servirait aussi bien que (F_{D} / ho U^{2} D^{2}) pour représenter les données. Vous verrez cependant ci-dessous que parfois l'un est plus révélateur que les autres.


Le raisonnement itératif multidimensionnel en action : le cas du jeu du colonel Blotto

Nous introduisons une nouvelle procédure de décision impliquant un raisonnement itératif multidimensionnel, dans lequel un joueur décide séparément des différentes caractéristiques de sa stratégie en utilisant un processus itératif. Ce type de raisonnement stratégique s'adapte à une gamme de situations compliquées dans lesquelles un joueur fait face à un espace stratégique large et non ordonné. Dans cet article, la procédure est utilisée pour expliquer les résultats d'une vaste expérience en ligne d'une version de tournoi du jeu Colonel Blotto. L'interprétation des choix des participants comme reflétant un raisonnement itératif multidimensionnel est étayée par une analyse de leurs temps de réponse et de la relation entre le comportement des participants dans ce jeu et leurs choix dans un autre jeu qui déclenche des k-niveau de raisonnement. Enfin, nous révélons les stratégies les plus réussies du tournoi, qui semblent refléter 2 à 3 niveaux de raisonnement dans les deux principales « dimensions ».

Points forts

► Nous introduisons une nouvelle procédure de décision impliquant un raisonnement itératif multidimensionnel. ► La procédure explique les résultats d'une grande expérience en ligne d'une version du jeu Blotto. ► L'interprétation des choix est appuyée par les temps de réponse et le comportement des sujets dans un autre jeu.


Contenu

De nombreux paramètres et mesures dans les sciences physiques et l'ingénierie sont exprimés sous forme de nombre concret, une quantité numérique et une unité dimensionnelle correspondante. Souvent, une quantité est exprimée en termes de plusieurs autres quantités, par exemple, la vitesse est une combinaison de longueur et de temps, par ex. 60 kilomètres par heure ou 1,4 kilomètres par seconde. Les relations composées avec "per" sont exprimées avec division, par ex. 60km/1h. D'autres relations peuvent impliquer une multiplication (souvent représentée par un point centré ou une juxtaposition), des puissances (comme m 2 pour les mètres carrés) ou des combinaisons de celles-ci.

Un ensemble d'unités de base pour un système de mesure est un ensemble d'unités choisi de manière conventionnelle, dont aucune ne peut être exprimée comme une combinaison des autres et en fonction desquels toutes les unités restantes du système peuvent être exprimées. [5] Par exemple, les unités de longueur et de temps sont normalement choisies comme unités de base. Les unités de volume, cependant, peuvent être prises en compte dans les unités de base de longueur (m 3 ), elles sont donc considérées comme des unités dérivées ou composées.

Parfois, les noms des unités masquent le fait qu'il s'agit d'unités dérivées. Par exemple, un newton (N) est une unité de force, qui a des unités de masse (kg) multipliées par des unités d'accélération (m⋅s -2 ). Le newton est défini comme 1 N = 1 kg⋅m⋅s −2 .

Pourcentages, dérivées et intégrales Modifier

Les pourcentages sont des quantités sans dimension, car ce sont des rapports de deux quantités ayant les mêmes dimensions. En d'autres termes, le signe % peut être lu comme des "centièmes", puisque 1% = 1/100 .

Prendre une dérivée par rapport à une quantité ajoute la dimension de la variable par rapport à laquelle on se différencie, au dénominateur. Ainsi:

  • position (X) a la dimension L (longueur)
  • dérivée de la position par rapport au temps (dx/dt, vitesse) a la dimension T −1 L—longueur à partir de la position, temps dû au gradient
  • la dérivée seconde ( 2 X/dt 2 = (dx/dt) / dt, accélération) a pour dimension T −2 L.

De même, prendre une intégrale ajoute la dimension de la variable que l'on intègre par rapport à, mais dans le numérateur.

    a la dimension T −2 L M (masse multipliée par l'accélération)
  • l'intégrale de la force par rapport à la distance (s) l'objet a voyagé ( ∫ F d s , travail) a pour dimension T −2 L 2 M .

En économie, on fait la distinction entre les stocks et les flux : un stock a des unités d'« unités » (disons, des widgets ou des dollars), tandis qu'un flux est un dérivé d'un stock et a des unités d'« unités/temps » (disons, dollars/ année).

Dans certains contextes, les quantités dimensionnelles sont exprimées sous forme de quantités sans dimension ou de pourcentages en omettant certaines dimensions. Par exemple, les ratios dette/PIB sont généralement exprimés en pourcentage : l'encours total de la dette (dimension de la monnaie) divisé par le PIB annuel (dimension de la monnaie) — mais on peut soutenir que, en comparant un stock à un flux, le PIB annuel devrait ont des dimensions de devise/temps (dollars/an, par exemple) et donc le ratio dette/PIB devrait avoir des unités d'années, ce qui indique que le ratio dette/PIB est le nombre d'années nécessaires pour qu'un PIB constant paie la dette, si tout le PIB est dépensé pour la dette et que la dette est par ailleurs inchangée.

En analyse dimensionnelle, un rapport qui convertit une unité de mesure en une autre sans changer la quantité est appelé facteur de conversion. Par exemple, kPa et bar sont tous deux des unités de pression et 100 kPa = 1 bar . Les règles de l'algèbre permettent de diviser les deux côtés d'une équation par la même expression, ce qui équivaut à 100 kPa / 1 bar = 1 . Puisque n'importe quelle quantité peut être multipliée par 1 sans la changer, l'expression " 100 kPa / 1 bar " peut être utilisée pour convertir des bars en kPa en la multipliant par la quantité à convertir, y compris les unités. Par exemple, 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa car 5 × 100 / 1 = 500 , et bar/bar s'annule, donc 5 bar = 500 kPa .

La règle la plus fondamentale de l'analyse dimensionnelle est celle de l'homogénéité dimensionnelle. [6]

Seules les grandeurs commensurables (grandeurs physiques ayant la même dimension) peuvent être par rapport, assimilé, ajoutée, ou alors soustrait.

Cependant, les dimensions forment un groupe abélien par multiplication, donc :

On peut prendre rapports de incommensurable quantités (quantités de dimensions différentes), et multiplier ou alors diviser eux.

Par exemple, cela n'a pas de sens de demander si 1 heure c'est plus, pareil ou moins de 1 kilomètre, car ces dimensions sont différentes, ni d'ajouter 1 heure à 1 kilomètre. Cependant, il est parfaitement logique de demander si 1 mile est plus, le même ou moins de 1 kilomètre étant la même dimension de quantité physique même si les unités sont différentes. D'un autre côté, si un objet parcourt 100 km en 2 heures, on peut les diviser et conclure que la vitesse moyenne de l'objet était de 50 km/h.

La règle implique que dans un sens physique expression seules des quantités de même dimension peuvent être ajoutées, soustraites ou comparées. Par exemple, si mhomme, mrat et Lhomme désignent, respectivement, la masse d'un homme, la masse d'un rat et la longueur de cet homme, l'expression dimensionnellement homogène mhomme + mrat est significatif, mais l'expression hétérogène mhomme + Lhomme est dénué de sens. Pourtant, mhomme/L 2 homme c'est bien. Ainsi, l'analyse dimensionnelle peut être utilisée comme un contrôle d'intégrité des équations physiques : les deux côtés de toute équation doivent être commensurables ou avoir les mêmes dimensions.

Cela implique que la plupart des fonctions mathématiques, en particulier les fonctions transcendantales, doivent avoir une quantité sans dimension, un nombre pur, comme argument et doivent renvoyer un nombre sans dimension en conséquence. Ceci est clair car de nombreuses fonctions transcendantales peuvent être exprimées sous la forme d'une série infinie de puissances avec des coefficients sans dimension.

Tous les pouvoirs de X doivent avoir la même dimension pour que les termes soient commensurables. Mais si X n'est pas sans dimension, alors les différentes puissances de X auront des dimensions différentes et incommensurables. Cependant, les fonctions de puissance, y compris les fonctions racine, peuvent avoir un argument dimensionnel et renverront un résultat dont la dimension est la même puissance appliquée à la dimension de l'argument. C'est parce que les fonctions de puissance et les fonctions racines ne sont, grosso modo, qu'une expression de multiplication de quantités.

Même lorsque deux grandeurs physiques ont des dimensions identiques, il peut néanmoins être dénué de sens de les comparer ou de les additionner. Par exemple, bien que le couple et l'énergie partagent la dimension T -2 L 2 M , ce sont des grandeurs physiques fondamentalement différentes.

Pour comparer, additionner ou soustraire des quantités ayant les mêmes dimensions mais exprimées dans des unités différentes, la procédure standard consiste d'abord à les convertir toutes dans les mêmes unités. Par exemple, pour comparer 32 mètres avec 35 yards, utilisez 1 yard = 0,9144 m pour convertir 35 yards en 32,004 m.

Un principe connexe est que toute loi physique qui décrit avec précision le monde réel doit être indépendante des unités utilisées pour mesurer les variables physiques. [7] Par exemple, les lois du mouvement de Newton doivent être vraies, que la distance soit mesurée en miles ou en kilomètres. Ce principe donne lieu à la forme que doivent prendre les facteurs de conversion entre unités mesurant la même dimension : la multiplication par une simple constante. Il assure également l'équivalence par exemple, si deux bâtiments ont la même hauteur en pieds, alors ils doivent avoir la même hauteur en mètres.

La méthode d'étiquette de facteur est l'application séquentielle de facteurs de conversion exprimés en fractions et disposés de sorte que toute unité dimensionnelle apparaissant à la fois dans le numérateur et le dénominateur de l'une des fractions puisse être annulée jusqu'à ce que seul l'ensemble souhaité d'unités dimensionnelles soit obtenu. Par exemple, 10 miles par heure peuvent être convertis en mètres par seconde en utilisant une séquence de facteurs de conversion comme indiqué ci-dessous :

NONX concentration = 10 parties par million en volume = 10 ppmv = 10 volumes/10 6 volumes NOX masse molaire = 46 kg/kmol = 46 g/mol Débit des fumées = 20 mètres cubes par minute = 20 m 3 /min Les fumées sortent du four à une température de 0 °C et une pression absolue de 101,325 kPa. Le volume molaire d'un gaz à une température de 0 °C et 101,325 kPa est de 22,414 m 3 /kmol. 1000 g NO x 1 kg NO x × 46 kg NO x 1 kmol NO x × 1 kmol NO x 22,414 m 3 NO x × 10 m 3 NO x 10 6 m 3 gaz × 20 m 3 gaz 1 minute × 60 minute 1 heure = 24,63 g NO x heure >_><1>_>>>> imes >_>>><1 >_>>>> imes >_>>><22.414 >^<3> >_>>>> imes >^<3> >_>>><10^<6> >^<3> >>>>> imes >^<3> >>>><1 >>>> imes >>><1 >>>=24.63 >_>>>>

Après avoir annulé toutes les unités dimensionnelles qui apparaissent à la fois dans les numérateurs et les dénominateurs des fractions dans l'équation ci-dessus, le NOX concentration de 10 ppmv convertit en débit massique de 24,63 grammes par heure.

Vérification des équations qui impliquent des dimensions Modifier

La méthode d'étiquette de facteur peut également être utilisée sur n'importe quelle équation mathématique pour vérifier si les unités dimensionnelles du côté gauche de l'équation sont les mêmes que les unités dimensionnelles du côté droit de l'équation. Avoir les mêmes unités des deux côtés d'une équation ne garantit pas que l'équation est correcte, mais avoir des unités différentes des deux côtés (exprimées en termes d'unités de base) d'une équation implique que l'équation est fausse.

Par exemple, vérifiez l'équation de la loi universelle des gaz de PV = nRT , lorsque:

  • la pression P est en pascals (Pa)
  • le volume V est en mètres cubes (m 3 )
  • la quantité de matière m est en moles (mol)
  • la constante universelle de la loi des gaz R est de 8,3145 Pa⋅m 3 /(mol⋅K)
  • la température T est en kelvins (K)

Comme on peut le voir, lorsque les unités dimensionnelles apparaissant dans le numérateur et le dénominateur du côté droit de l'équation sont annulées, les deux côtés de l'équation ont les mêmes unités dimensionnelles. L'analyse dimensionnelle peut être utilisée comme un outil pour construire des équations qui relient des propriétés physico-chimiques non associées. Les équations peuvent révéler des propriétés de la matière jusque-là inconnues ou négligées, sous la forme de dimensions restantes – des ajusteurs dimensionnels – qui peuvent ensuite se voir attribuer une signification physique. Il est important de souligner qu'une telle « manipulation mathématique » n'est ni sans précédent ni sans signification scientifique considérable. En effet, la constante de Planck, une constante fondamentale de l'univers, a été « découverte » en tant qu'abstraction ou représentation purement mathématique fondée sur la loi de Rayleigh-Jeans pour empêcher la catastrophe ultraviolette. Il a été assigné et atteint sa signification physique quantique soit en tandem, soit après un ajustement dimensionnel mathématique – pas plus tôt.

Limitations Modifier

La méthode facteur-étiquette ne peut convertir que les quantités unitaires pour lesquelles les unités sont dans une relation linéaire se coupant à 0. (Échelle de ratio dans la typologie de Stevens) La plupart des unités correspondent à ce paradigme. Un exemple pour lequel il ne peut pas être utilisé est la conversion entre degrés Celsius et kelvins (ou degrés Fahrenheit). Entre les degrés Celsius et les kelvins, il existe une différence constante plutôt qu'un rapport constant, tandis qu'entre les degrés Celsius et les degrés Fahrenheit, il n'y a ni différence constante ni rapport constant. Il existe cependant une transformation affine ( x ↦ a x + b , plutôt qu'une transformation linéaire x ↦ a x ) entre eux.

Par exemple, le point de congélation de l'eau est de 0 °C et 32 ​​°F (0 °C), et un changement de 5 °C équivaut à un changement de 9 °F (-13 °C). Ainsi, pour convertir des unités de Fahrenheit en unités de Celsius, on soustrait 32 °F (le décalage du point de référence), on divise par 9 °F (-13 °C) et on multiplie par 5 °C (échelle par le rapport d'unités) et ajoute 0 °C (le décalage par rapport au point de référence). Inverser cela donne la formule pour obtenir une quantité en unités de Celsius à partir d'unités de Fahrenheit, on aurait pu commencer avec l'équivalence entre 100 °C et 212 °F (100 °C), bien que cela donnerait la même formule à la fin.

Par conséquent, pour convertir la valeur numérique d'une température T[F] en degrés Fahrenheit à une valeur numérique T[C] en degrés Celsius, cette formule peut être utilisée :

T[C] = (T[F] − 32) × 5/9.

Convertir T[C] en degrés Celsius à T[F] en degrés Fahrenheit, cette formule peut être utilisée :

T[F] = (T[C] × 9/5) + 32.

L'analyse dimensionnelle est le plus souvent utilisée en physique et en chimie - et dans leurs mathématiques - mais trouve également des applications en dehors de ces domaines.

Mathématiques Modifier

Finance, économie et comptabilité Modifier

En finance, en économie et en comptabilité, l'analyse dimensionnelle est le plus souvent appelée en termes de distinction entre les stocks et les flux. Plus généralement, l'analyse dimensionnelle est utilisée pour interpréter divers ratios financiers, ratios économiques et ratios comptables.

  • Par exemple, le ratio P/E a des dimensions temporelles (unités d'années) et peut être interprété comme « années de gains pour gagner le prix payé ».
  • En économie, le ratio de la dette au PIB a également des unités d'années (la dette a des unités de devise, le PIB a des unités de devise/an).
  • Dans l'analyse financière, certains types de durée d'obligation ont également une dimension temporelle (unité d'années) et peuvent être interprétés comme « années jusqu'au point d'équilibre entre les paiements d'intérêts et le remboursement nominal ». a des unités de 1/an (le PIB/la masse monétaire a des unités de devise/an sur la devise) : à quelle fréquence une unité de devise circule par an.
  • Les taux d'intérêt sont souvent exprimés en pourcentage, mais plus précisément en pourcentage par an, qui a des dimensions de 1/an.

Mécanique des fluides Modifier

En mécanique des fluides, l'analyse dimensionnelle est effectuée pour obtenir des termes ou des groupes pi sans dimension. Selon les principes de l'analyse dimensionnelle, tout prototype peut être décrit par une série de ces termes ou groupes qui décrivent le comportement du système. En utilisant des termes ou des groupes pi appropriés, il est possible de développer un ensemble similaire de termes pi pour un modèle qui a les mêmes relations dimensionnelles. [8] En d'autres termes, les termes pi fournissent un raccourci pour développer un modèle représentant un certain prototype. Les groupes adimensionnels courants en mécanique des fluides comprennent :

Les origines de l'analyse dimensionnelle ont été contestées par les historiens. [9] [10]

La première application écrite de l'analyse dimensionnelle a été créditée à un article de François Daviet à l'Académie des sciences de Turin. Daviet avait pour maître le maître Lagrange. Ses œuvres fondamentales sont contenues dans des acta de l'Académie datées de 1799. [10]

Cela a conduit à la conclusion que les lois significatives doivent être des équations homogènes dans leurs différentes unités de mesure, un résultat qui a finalement été formalisé plus tard dans le théorème de Buckingham. Siméon Poisson a traité aussi le même problème de la loi du parallélogramme par Daviet, dans son traité de 1811 et 1833 (vol I, p. 39). [11] Dans la deuxième édition de 1833, Poisson introduit explicitement le terme dimension à la place du Daviet homogénéité.

En 1822, l'important scientifique napoléonien Joseph Fourier a fait les premières contributions importantes créditées [12] sur la base de l'idée que les lois physiques comme F = ma doit être indépendant des unités utilisées pour mesurer les variables physiques.

James Clerk Maxwell a joué un rôle majeur dans l'établissement de l'utilisation moderne de l'analyse dimensionnelle en distinguant la masse, la longueur et le temps comme unités fondamentales, tout en se référant à d'autres unités comme dérivées. [13] Bien que Maxwell ait défini la longueur, le temps et la masse comme étant « les trois unités fondamentales », il a également noté que la masse gravitationnelle peut être dérivée de la longueur et du temps en supposant une forme de la loi de la gravitation universelle de Newton dans laquelle la constante gravitationnelle g est pris comme unité, définissant ainsi M = T −2 L 3 . [14] En supposant une forme de loi de Coulomb dans laquelle la constante de Coulomb ke est prise comme unité, Maxwell a alors déterminé que les dimensions d'une unité de charge électrostatique étaient Q = T −1 L 3/2 M 1/2 , [15] qui, après avoir substitué son équation M = T −2 L 3 à la masse , résulte en une charge ayant les mêmes dimensions que la masse, à savoir. Q = T -2 L 3 .

L'analyse dimensionnelle est également utilisée pour dériver des relations entre les quantités physiques impliquées dans un phénomène particulier que l'on souhaite comprendre et caractériser. Il a été utilisé pour la première fois (Pesic 2005) de cette manière en 1872 par Lord Rayleigh, qui essayait de comprendre pourquoi le ciel est bleu. Rayleigh a publié pour la première fois la technique dans son livre de 1877 La théorie du son. [16]

Le sens originel du mot dimension, chez Fourier Théorie de la Chaleur, était la valeur numérique des exposants des unités de base. Par exemple, l'accélération a été considérée comme ayant la dimension 1 par rapport à l'unité de longueur, et la dimension -2 par rapport à l'unité de temps. [17] Cela a été légèrement modifié par Maxwell, qui a déclaré que les dimensions de l'accélération sont T -2 L, au lieu de simplement les exposants. [18]

Le théorème de Buckingham π décrit comment chaque équation physiquement significative impliquant m les variables peuvent être réécrites de manière équivalente comme une équation de mm paramètres sans dimension, où m est le rang de la matrice dimensionnelle. De plus, et surtout, il fournit une méthode pour calculer ces paramètres sans dimension à partir des variables données.

Une équation dimensionnelle peut avoir les dimensions réduites ou éliminées par la non-dimensionnalité, qui commence par l'analyse dimensionnelle, et implique la mise à l'échelle des quantités par des unités caractéristiques d'un système ou des unités naturelles de la nature. Cela donne un aperçu des propriétés fondamentales du système, comme illustré dans les exemples ci-dessous.

Définition Modifier

La dimension d'une quantité physique peut être exprimée comme un produit des dimensions physiques de base telles que la longueur, la masse et le temps, chacune élevée à une puissance rationnelle. Le dimension d'une grandeur physique est plus fondamental que certains échelle unité utilisée pour exprimer le montant de cette quantité physique. Par exemple, Masse est une dimension, tandis que le kilogramme est une unité d'échelle particulière choisie pour exprimer une quantité de masse. A l'exception des unités naturelles, le choix de l'échelle est culturel et arbitraire.

Il existe de nombreux choix possibles de dimensions physiques de base. La norme SI recommande l'utilisation des dimensions suivantes et des symboles correspondants : temps (T), longueur (L), masse (M), courant électrique (I), température absolue (Θ), quantité de substance (N) et intensité lumineuse (J). Les symboles sont par convention généralement écrits en caractères romains sans empattement. [19] Mathématiquement, la dimension de la quantité Q est donné par

une, b, c, , e, F, g sont les exposants dimensionnels. D'autres quantités physiques pourraient être définies comme les quantités de base, tant qu'elles forment une base linéairement indépendante - par exemple, on pourrait remplacer la dimension (I) du courant électrique de la base SI par une dimension (Q) de la charge électrique, puisque Q = TI.

A titre d'exemple, la dimension de la grandeur physique vitesse v est

et la dimension de la force de quantité physique F est

L'unité choisie pour exprimer une grandeur physique et sa dimension sont des concepts liés, mais pas identiques. Les unités d'une quantité physique sont définies par convention et liées à certaines normes, par exemple, la longueur peut avoir des unités de mètres, pieds, pouces, miles ou micromètres, mais toute longueur a toujours une dimension L, quelles que soient les unités de longueur choisies pour l'exprimer. Deux unités différentes de la même quantité physique ont des facteurs de conversion qui les relient. Par exemple, 1 in = 2,54 cm dans ce cas 2,54 cm/in est le facteur de conversion, qui est lui-même sans dimension. Par conséquent, multiplier par ce facteur de conversion ne change pas les dimensions d'une quantité physique.

Il y a aussi des physiciens qui ont mis en doute l'existence même de dimensions fondamentales incompatibles de la quantité physique, [20] bien que cela n'invalide pas l'utilité de l'analyse dimensionnelle.

Propriétés mathématiques Modifier

Les dimensions qui peuvent être formées à partir d'une collection donnée de dimensions physiques de base, telles que T, L et M, forment un groupe abélien : L'identité s'écrit 1 [ citation requise ] L 0 = 1 , et l'inverse de L est 1/L ou L −1 . L élevé à toute puissance rationnelle p est membre du groupe, ayant un inverse de L −p ou 1/L p . L'opération du groupe est la multiplication, ayant les règles habituelles de manipulation des exposants ( L m × L m = L m+m ).

Ce groupe peut être décrit comme un espace vectoriel sur les nombres rationnels, avec le symbole dimensionnel T je L j M k correspondant au vecteur (je, j, k) . Lorsque des grandeurs physiques mesurées (qu'elles soient de dimension similaire ou de dimension différente) sont multipliées ou divisées par une autre, leurs unités dimensionnelles sont également multipliées ou divisées, ce qui correspond à une addition ou une soustraction dans l'espace vectoriel. Lorsque des quantités mesurables sont élevées à une puissance rationnelle, la même chose est faite pour les symboles dimensionnels attachés à ces quantités, cela correspond à la multiplication scalaire dans l'espace vectoriel.

Une base pour un tel espace vectoriel de symboles dimensionnels est appelée un ensemble de quantités de base, et tous les autres vecteurs sont appelés unités dérivées. Comme dans tout espace vectoriel, on peut choisir différentes bases, ce qui donne différents systèmes d'unités (par exemple, choisir si l'unité de charge est dérivée de l'unité de courant, ou vice versa).

L'identité de groupe, la dimension des quantités sans dimension, correspond à l'origine dans cet espace vectoriel.

L'ensemble des unités des grandeurs physiques impliquées dans un problème correspond à un ensemble de vecteurs (ou une matrice). La nullité décrit un certain nombre (par exemple, m) des façons dont ces vecteurs peuvent être combinés pour produire un vecteur nul. Celles-ci correspondent à produire (à partir des mesures) un certain nombre de grandeurs sans dimension, <>1, . πm>. (En fait, ces manières couvrent complètement le sous-espace nul d'un autre espace différent, des puissances des mesures.) Toutes les manières possibles de multiplier (et d'exposer) ensemble les quantités mesurées pour produire quelque chose avec les mêmes unités qu'une quantité dérivée X peut s'exprimer sous la forme générale

Par conséquent, toutes les équations proportionnelles possibles à la physique du système peuvent être réécrites sous la forme

Connaître cette restriction peut être un outil puissant pour obtenir de nouvelles informations sur le système.

Mécanique Modifier

La dimension des quantités physiques d'intérêt en mécanique peut être exprimée en termes de dimensions de base T, L et M - celles-ci forment un espace vectoriel à 3 dimensions. Ce n'est pas le seul choix valable de dimensions de base, mais c'est le plus couramment utilisé. Par exemple, on pourrait choisir la force, la longueur et la masse comme dimensions de base (comme certains l'ont fait), avec les dimensions associées F, L, M cela correspond à une base différente, et on peut convertir entre ces représentations par un changement de base.Le choix du jeu de dimensions de base est donc une convention, avec l'avantage d'une utilité et d'une familiarité accrues. Le choix des dimensions de base n'est pas entièrement arbitraire, car elles doivent constituer une base : elles doivent s'étendre sur l'espace, et être linéairement indépendantes.

Par exemple, F, L, M forment un ensemble de dimensions fondamentales car elles forment une base équivalente à T, L, M : la première peut s'exprimer par [F = LM/T 2 ], L, M, tandis que la ce dernier peut être exprimé par [T = (LM/F) 1/2 ], L, M.

D'autre part, la longueur, la vitesse et le temps (T, L, V) ne forment pas un ensemble de dimensions de base pour la mécanique, pour deux raisons :

  • Il n'y a aucun moyen d'obtenir la masse - ou quoi que ce soit qui en dérive, comme la force - sans introduire une autre dimension de base (ainsi, ils ne parcourir l'espace).
  • La vitesse, étant exprimable en termes de longueur et de temps (V = L/T), est redondante (l'ensemble n'est pas linéairement indépendant).

Autres domaines de la physique et de la chimie Modifier

Selon le domaine de la physique, il peut être avantageux de choisir l'un ou l'autre ensemble étendu de symboles dimensionnels. En électromagnétisme, par exemple, il peut être utile d'utiliser les dimensions de T, L, M et Q, où Q représente la dimension de la charge électrique. En thermodynamique, l'ensemble de dimensions de base est souvent étendu pour inclure une dimension pour la température, . En chimie, la quantité de substance (le nombre de molécules divisé par la constante d'Avogadro, ≈ 6,02 × 10 23 mol −1 ) est également définie comme une dimension de base, N. Dans l'interaction du plasma relativiste avec de fortes impulsions laser, une dimension sans dimension Le paramètre de similarité relativiste, lié aux propriétés de symétrie de l'équation de Vlasov sans collision, est construit à partir des densités plasma, électronique et critique en plus du potentiel vecteur électromagnétique. Le choix des dimensions ou même du nombre de dimensions à utiliser dans différents domaines de la physique est dans une certaine mesure arbitraire, mais la cohérence d'utilisation et la facilité de communication sont des caractéristiques communes et nécessaires.

Polynômes et fonctions transcendantales Modifier

Les arguments scalaires des fonctions transcendantales telles que les fonctions exponentielles, trigonométriques et logarithmiques, ou des polynômes inhomogènes, doivent être des quantités sans dimension. (Remarque : cette exigence est quelque peu assouplie dans l'analyse orientationnelle de Siano décrite ci-dessous, dans laquelle le carré de certaines quantités dimensionnées est sans dimension.)

Alors que la plupart des identités mathématiques sur les nombres sans dimension se traduisent de manière directe en quantités dimensionnelles, il faut faire attention aux logarithmes des rapports : le log d'identité(une/b) = journal une − journal b, où le logarithme est pris dans n'importe quelle base, est valable pour les nombres sans dimension une et b, mais ça le fait ne pas tenir si une et b sont dimensionnels, car dans ce cas le côté gauche est bien défini mais le côté droit ne l'est pas.

De même, alors que l'on peut évaluer des monômes (X m ) de grandeurs dimensionnelles, on ne peut pas évaluer des polynômes de degré mixte avec des coefficients sans dimension sur des grandeurs dimensionnelles : pour X 2 , l'expression (3 m) 2 = 9 m 2 a un sens (en tant qu'aire), tandis que pour X 2 + X, l'expression (3 m) 2 + 3 m = 9 m 2 + 3 m n'a pas de sens.

Cependant, les polynômes de degré mixte peuvent avoir un sens si les coefficients sont des quantités physiques convenablement choisies qui ne sont pas sans dimension. Par exemple,

C'est la hauteur à laquelle un objet s'élève dans le temps t si l'accélération de la gravité est de 9,8 mètres par seconde par seconde et la vitesse initiale de montée est de 500 mètres par seconde. Il n'est pas nécessaire pour t en être secondes. Par exemple, supposons t = 0,01 minute. Alors le premier terme serait

Incorporer des unités Modifier

La valeur d'une grandeur physique dimensionnelle Z s'écrit comme le produit d'une unité [Z] dans la dimension et un facteur numérique sans dimension, m. [21]

Lorsque des quantités de même dimension sont ajoutées, soustraites ou comparées, il est commode de les exprimer en unités cohérentes afin que les valeurs numériques de ces quantités puissent être directement ajoutées ou soustraites. Mais, dans le concept, il n'y a aucun problème à additionner des quantités de même dimension exprimées dans des unités différentes. Par exemple, 1 mètre ajouté à 1 pied est une longueur, mais on ne peut pas dériver cette longueur en ajoutant simplement 1 et 1. Un facteur de conversion, qui est un rapport de quantités de même dimension et est égal à l'unité sans dimension, est nécessaire :

Ce n'est que de cette manière qu'il est significatif de parler d'addition de quantités de même dimension d'unités différentes.

Position vs déplacement Modifier

Certaines discussions sur l'analyse dimensionnelle décrivent implicitement toutes les quantités comme des vecteurs mathématiques. (En mathématiques, les scalaires sont considérés comme un cas particulier de vecteurs [ citation requise ] les vecteurs peuvent être ajoutés ou soustraits à d'autres vecteurs, et, entre autres, multipliés ou divisés par des scalaires. Si un vecteur est utilisé pour définir une position, cela suppose un point de référence implicite : une origine. Bien que cela soit utile et souvent parfaitement adéquat, permettant de détecter de nombreuses erreurs importantes, il peut échouer à modéliser certains aspects de la physique. Une approche plus rigoureuse nécessite de faire la distinction entre la position et le déplacement (ou moment dans le temps contre durée, ou température absolue contre changement de température).

Considérez des points sur une ligne, chacun avec une position par rapport à une origine donnée, et des distances entre eux. Les positions et les déplacements ont tous des unités de longueur, mais leur signification n'est pas interchangeable :

  • l'ajout de deux déplacements devrait donner un nouveau déplacement (marcher dix pas puis vingt pas vous fait avancer de trente pas),
  • l'ajout d'un déplacement à une position devrait donner une nouvelle position (en marchant un pâté de maisons dans la rue à partir d'une intersection vous amène à la prochaine intersection),
  • la soustraction de deux positions devrait donner un déplacement,
  • mais on peut ne pas ajouter deux positions.

Cela illustre la distinction subtile entre affiner quantités (celles modélisées par un espace affine, comme la position) et vecteur quantités (celles modélisées par un espace vectoriel, comme le déplacement).

  • Des quantités vectorielles peuvent être ajoutées les unes aux autres, produisant une nouvelle quantité vectorielle, et une quantité vectorielle peut être ajoutée à une quantité affine appropriée (un espace vectoriel agit sur un espace affine), donnant une nouvelle quantité affine.
  • Les quantités affines ne peuvent pas être ajoutées, mais peuvent être soustraites, ce qui donne relatif quantités qui sont des vecteurs, et ces différences relatives peuvent alors être additionnés les uns aux autres ou en quantité affine.

Correctement alors, les positions ont une dimension de affiner longueur, tandis que les déplacements ont une dimension de vecteur longueur. Pour attribuer un numéro à un affiner unité, il faut non seulement choisir une unité de mesure, mais aussi un point de référence, tandis que pour attribuer un numéro à un vecteur unité ne nécessite qu'une unité de mesure.

Ainsi, certaines quantités physiques sont mieux modélisées par des quantités vectorielles tandis que d'autres ont tendance à nécessiter une représentation affine, et la distinction se reflète dans leur analyse dimensionnelle.

Cette distinction est particulièrement importante dans le cas de la température, pour laquelle la valeur numérique du zéro absolu n'est pas l'origine 0 dans certaines échelles. Pour le zéro absolu,

−273,15 °C 0 K = 0 °R ≘ -459,67 °F,

où le symbole ≘ signifie Correspond à, car bien que ces valeurs sur les échelles de température respectives correspondent, elles représentent des quantités distinctes de la même manière que les distances de points de départ distincts au même point final sont des quantités distinctes, et ne peuvent en général pas être assimilées.

Pour les différences de température,

(Ici, °R fait référence à l'échelle de Rankine, pas à l'échelle de Réaumur). La conversion d'unités pour les différences de température consiste simplement à multiplier par, par exemple, 1 °F / 1 K (bien que le rapport ne soit pas une valeur constante). Mais parce que certaines de ces échelles ont des origines qui ne correspondent pas au zéro absolu, la conversion d'une échelle de température à une autre nécessite d'en tenir compte. En conséquence, une simple analyse dimensionnelle peut conduire à des erreurs s'il est ambigu si 1 K signifie la température absolue égale à -272,15 °C, ou la différence de température égale à 1 °C.

Orientation et cadre de référence Modifier

Similaire à la question d'un point de référence est la question de l'orientation : un déplacement en 2 ou 3 dimensions n'est pas seulement une longueur, mais est une longueur avec un direction. (Ce problème ne se pose pas en 1 dimension, ou plutôt équivaut à la distinction entre positif et négatif.) Ainsi, pour comparer ou combiner des quantités à deux dimensions dans un espace multidimensionnel, il faut aussi une orientation : il faut les comparer à un cadre de référence.

Cela conduit aux extensions discutées ci-dessous, à savoir les dimensions dirigées de Huntley et l'analyse orientationnelle de Siano.

Un exemple simple : période d'un oscillateur harmonique Modifier

Quelle est la période d'oscillation T d'une masse m attachée à un ressort linéaire idéal avec une constante de ressort k suspendu en gravité de force g ? Cette période est la solution pour T d'une équation sans dimension dans les variables T , m , k et g . Les quatre grandeurs ont les dimensions suivantes : T [T] m [M] k [M/T 2 ] et g [L/T 2 ]. A partir de celles-ci, nous pouvons former un seul produit sans dimension des puissances de nos variables choisies, G 1 > = T 2 k / m k/m> [T 2 · M/ T 2 / M = 1] , et mettre G 1 = C =C> pour une constante sans dimension C donne l'équation sans dimension recherchée. Le produit sans dimension des puissances des variables est parfois appelé un groupe de variables sans dimension ici, le terme « groupe » signifie « collection » plutôt que groupe mathématique. Ils sont aussi souvent appelés nombres sans dimension.

Notez que la variable g n'apparaît pas dans le groupe. Il est facile de voir qu'il est impossible de former un produit sans dimension des puissances qui combine g avec k , m , et T , car g est la seule quantité qui implique la dimension L. Cela implique que dans ce problème le g n'est pas pertinent. L'analyse dimensionnelle peut parfois produire des déclarations fortes sur la non-pertinence de certaines quantités dans un problème, ou le besoin de paramètres supplémentaires. Si nous avons choisi suffisamment de variables pour décrire correctement le problème, alors à partir de cet argument nous pouvons conclure que la période de la masse sur le ressort est indépendante de g : elle est la même sur la terre ou la lune. L'équation démontrant l'existence d'un produit de puissances pour notre problème peut s'écrire de manière tout à fait équivalente : T = κ m k >>> , pour une constante sans dimension κ (égal à C >> à partir de l'équation sans dimension d'origine).

Face à un cas où l'analyse dimensionnelle rejette une variable ( g , ici) à laquelle on s'attend intuitivement à appartenir dans une description physique de la situation, une autre possibilité est que la variable rejetée soit en fait pertinente, mais qu'une autre variable pertinente ait été omis, qui pourrait se combiner avec la variable rejetée pour former une quantité sans dimension. Ce n'est cependant pas le cas ici.

Lorsque l'analyse dimensionnelle ne donne qu'un seul groupe sans dimension, comme ici, il n'y a pas de fonctions inconnues et la solution est dite « complète » - bien qu'elle puisse encore impliquer des constantes sans dimension inconnues, telles que κ .

Un exemple plus complexe : l'énergie d'une corde vibrante Modifier

Considérons le cas d'une corde vibrante de longueur (L) vibrant avec une amplitude UNE (L). Le fil a une densité linéaire ρ (M/L) et est sous tension s (LM/T 2 ), et nous voulons connaître l'énergie E (L 2 M/T 2 ) dans le fil. Laisser π1 et π2 être deux produits sans dimension des puissances des variables choisies, donnés par

La densité linéaire du fil n'intervient pas. Les deux groupes trouvés peuvent être combinés en une forme équivalente sous la forme d'une équation

F est une fonction inconnue, ou, de manière équivalente comme

F est une autre fonction inconnue. Ici, la fonction inconnue implique que notre solution est maintenant incomplète, mais l'analyse dimensionnelle nous a donné quelque chose qui n'était peut-être pas évident : l'énergie est proportionnelle à la première puissance de la tension. À moins d'une analyse analytique plus poussée, nous pourrions procéder à des expériences pour découvrir la forme de la fonction inconnue F. Mais nos expériences sont plus simples qu'en l'absence d'analyse dimensionnelle. Nous n'en effectuerions aucun pour vérifier que l'énergie est proportionnelle à la tension. Ou peut-être pourrions-nous deviner que l'énergie est proportionnelle à , et donc en déduire que E = s . La puissance de l'analyse dimensionnelle comme aide à l'expérimentation et à la formation d'hypothèses devient évidente.

La puissance de l'analyse dimensionnelle devient vraiment apparente lorsqu'elle est appliquée à des situations, contrairement à celles indiquées ci-dessus, qui sont plus compliquées, l'ensemble des variables impliquées n'est pas apparent et les équations sous-jacentes désespérément complexes. Considérons, par exemple, un petit caillou posé sur le lit d'une rivière. Si la rivière coule assez vite, elle soulèvera en fait le caillou et le fera couler avec l'eau. A quelle vitesse critique cela se produira-t-il ? Trier les variables devinées n'est pas aussi facile qu'avant. Mais l'analyse dimensionnelle peut être une aide puissante pour comprendre des problèmes comme celui-ci, et est généralement le tout premier outil à être appliqué à des problèmes complexes où les équations et les contraintes sous-jacentes sont mal comprises. Dans de tels cas, la réponse peut dépendre d'un nombre sans dimension tel que le nombre de Reynolds, qui peut être interprété par une analyse dimensionnelle.

Un troisième exemple : demande versus capacité pour un disque rotatif Modifier

Considérons le cas d'un disque rotatif mince, solide, à côtés parallèles d'épaisseur axiale t (L) et rayon R (L). Le disque a une densité ρ (M/L 3 ), tourne à une vitesse angulaire ω (T −1 ) et cela conduit à une contrainte S (T -2 L -1 M) dans le matériau. Il existe une solution élastique linéaire théorique, donnée par Lame, à ce problème lorsque le disque est mince par rapport à son rayon, les faces du disque sont libres de se déplacer axialement et les relations constitutives des contraintes planes peuvent être supposées valides. Au fur et à mesure que le disque devient plus épais par rapport au rayon, la solution de contrainte plane se décompose. Si le disque est retenu axialement sur ses faces libres, alors un état de déformation plane se produira. Cependant, si ce n'est pas le cas, l'état de contrainte ne peut être déterminé qu'en tenant compte de l'élasticité tridimensionnelle et il n'y a pas de solution théorique connue pour ce cas. Un ingénieur pourrait donc être intéressé à établir une relation entre les cinq variables. L'analyse dimensionnelle pour ce cas conduit aux groupes non dimensionnels suivants (5 − 3 = 2) :

demande/capacité = R 2 ω 2 /S épaisseur/rayon ou rapport hauteur/largeur = t/R

Grâce à l'utilisation d'expériences numériques utilisant, par exemple, la méthode des éléments finis, la nature de la relation entre les deux groupes non dimensionnels peut être obtenue comme le montre la figure. Comme ce problème ne concerne que deux groupes non dimensionnels, l'image complète est fournie dans un seul tracé et cela peut être utilisé comme un tableau de conception/d'évaluation pour les disques rotatifs [22]

Extension de Huntley : dimensions dirigées et quantité de matière Modifier

Huntley (Huntley 1967) a souligné qu'une analyse dimensionnelle peut devenir plus puissante en découvrant de nouvelles dimensions indépendantes dans les quantités considérées, augmentant ainsi le rang m de la matrice dimensionnelle. Il a introduit deux approches pour y parvenir :

  • Les grandeurs des composantes d'un vecteur doivent être considérées comme indépendantes de la dimension. Par exemple, plutôt qu'une dimension de longueur indifférenciée L, nous pouvons avoir LX représentent la dimension dans la direction x, et ainsi de suite. Cette exigence découle en fin de compte de l'exigence que chaque composant d'une équation physiquement significative (scalaire, vecteur ou tenseur) doit être dimensionnellement cohérent.
  • La masse en tant que mesure de la quantité de matière doit être considérée dimensionnellement indépendante de la masse en tant que mesure de l'inertie.

Avec ces quatre quantités, nous pouvons conclure que l'équation pour l'intervalle R peut s'écrire :

Dans sa deuxième approche, Huntley soutient qu'il est parfois utile (par exemple, en mécanique des fluides et en thermodynamique) de faire la distinction entre la masse en tant que mesure de l'inertie (masse inertielle) et la masse en tant que mesure de la quantité de matière. La quantité de matière est définie par Huntley comme une quantité (a) proportionnelle à la masse inertielle, mais (b) n'impliquant pas de propriétés inertielles. Aucune autre restriction n'est ajoutée à sa définition.

Par exemple, considérons la dérivation de la loi de Poiseuille. Nous souhaitons trouver le débit massique d'un fluide visqueux à travers un tuyau circulaire. Sans faire de distinction entre masse inertielle et masse substantielle, nous pouvons choisir comme variables pertinentes

Il y a trois variables fondamentales, donc les cinq équations ci-dessus donneront deux variables sans dimension que nous pouvons considérer comme π 1 = m ˙ / η r =>/eta r> et 2 = p x ρ r 5 / m ˙ 2 =p_ > ho r^<5>/>^<2>> et nous pouvons exprimer l'équation dimensionnelle comme

La reconnaissance par Huntley de la quantité de matière en tant que dimension quantitative indépendante réussit manifestement dans les problèmes où elle est applicable, mais sa définition de la quantité de matière est sujette à interprétation, car elle manque de spécificité au-delà des deux exigences (a) et (b) il postulé pour cela. Pour une substance donnée, la quantité de substance de dimension SI, avec une unité de mole, satisfait les deux exigences de Huntley en tant que mesure de quantité de matière et pourrait être utilisée comme quantité de matière dans tout problème d'analyse dimensionnelle où le concept de Huntley est applicable.

Le concept de Huntley des dimensions de longueur dirigée a cependant quelques limitations sérieuses :

  • Il ne traite pas bien les équations vectorielles impliquant le produit croisé,
  • il ne gère pas non plus bien l'utilisation de angles comme variables physiques.

Il est aussi souvent assez difficile d'attribuer le L, L X , L oui , L z , symboles aux variables physiques impliquées dans le problème d'intérêt. Il invoque une procédure qui implique la « symétrie » du problème physique. Ceci est souvent très difficile à appliquer de manière fiable : il n'est pas clair sur quelles parties du problème la notion de « symétrie » est invoquée.Est-ce la symétrie du corps physique sur laquelle les forces agissent, ou les points, lignes ou zones sur lesquels les forces sont appliquées ? Et si plus d'un corps est impliqué avec différentes symétries ?

Considérons la bulle sphérique attachée à un tube cylindrique, où l'on veut le débit d'air en fonction de la différence de pression dans les deux parties. Quelles sont les dimensions étendues Huntley de la viscosité de l'air contenu dans les pièces connectées ? Quelles sont les dimensions étendues de la pression des deux parties ? Sont-ils identiques ou différents? Ces difficultés sont responsables de l'application limitée des dimensions de longueur dirigée de Huntley à des problèmes réels.

L'extension de Siano : analyse d'orientation Modifier

Les angles sont, par convention, considérés comme des grandeurs sans dimension. A titre d'exemple, considérons à nouveau le problème du projectile dans lequel une masse ponctuelle est lancée depuis l'origine (X, oui) = (0, 0) à une vitesse v et l'angle θ au dessus de X-axe, avec la force de gravité dirigée le long du négatif oui-axe. On souhaite trouver la gamme R , à quel point la masse retourne à la X-axe. L'analyse conventionnelle donnera la variable sans dimension π = R g/v 2 , mais n'offre aucun aperçu de la relation entre R et θ .

Siano (1985-I, 1985-II) a suggéré que les dimensions dirigées de Huntley soient remplacées en utilisant symboles d'orientation 1X 1oui 1z pour désigner les directions vectorielles, et un symbole sans orientation 10. Ainsi, le L de Huntley X devient L1 X avec L spécifiant la dimension de la longueur, et 1X en précisant l'orientation. Siano montre en outre que les symboles d'orientation ont leur propre algèbre. Parallèlement à l'exigence que 1je −1 = 1je , la table de multiplication suivante pour les symboles d'orientation résulte :

Notez que les symboles d'orientation forment un groupe (le groupe des quatre Klein ou "Viergruppe"). Dans ce système, les scalaires ont toujours la même orientation que l'élément identité, indépendamment de la « symétrie du problème ». Les grandeurs physiques qui sont des vecteurs ont l'orientation attendue : une force ou une vitesse dans la direction z a l'orientation 1z . Pour les angles, considérons un angle qui se trouve dans le plan z. Former un triangle rectangle dans le plan z avec étant l'un des angles aigus. Le côté du triangle rectangle adjacent à l'angle a alors une orientation 1X et le côté opposé a une orientation 1oui . Depuis (en utilisant

pour indiquer l'équivalence d'orientation) tan(θ) = θ + .

1oui/1X nous concluons qu'un angle dans le plan xy doit avoir une orientation 1oui/1X = 1z , ce qui n'est pas déraisonnable. Un raisonnement analogue force la conclusion que sin(θ) a l'orientation 1z tandis que cos(θ) a l'orientation 10. Celles-ci sont différentes, donc on conclut (correctement), par exemple, qu'il n'y a pas de solutions d'équations physiques de la forme une cos(θ) + b péché(θ) , où a et b sont des scalaires réels. Notez qu'une expression telle que sin ⁡ ( θ + π / 2 ) = cos ⁡ ( θ ) n'est pas dimensionnellement incohérente puisqu'elle est un cas particulier de la formule de la somme des angles et doit s'écrire correctement :

L'affectation de symboles d'orientation à des quantités physiques et l'exigence que les équations physiques soient homogènes du point de vue de l'orientation peuvent en fait être utilisées d'une manière similaire à l'analyse dimensionnelle pour obtenir un peu plus d'informations sur les solutions acceptables des problèmes physiques. Dans cette approche, on établit l'équation dimensionnelle et on la résout autant que l'on peut. Si la puissance la plus faible d'une variable physique est fractionnaire, les deux côtés de la solution sont élevés à une puissance telle que toutes les puissances sont intégrales. Cela le met dans une "forme normale". L'équation d'orientation est ensuite résolue pour donner une condition plus restrictive sur les puissances inconnues des symboles d'orientation, aboutissant à une solution plus complète que celle que donne l'analyse dimensionnelle seule. Souvent, l'information ajoutée est que l'une des puissances d'une certaine variable est paire ou impaire.

A titre d'exemple, pour le problème du projectile, en utilisant des symboles d'orientation, θ , étant dans le plan xy aura donc la dimension 1z et la portée du projectile R sera de la forme :

On voit que la série de Taylor du péché(θ) et cos(θ) sont homogènes sur le plan de l'orientation en utilisant la table de multiplication ci-dessus, tandis que des expressions comme cos(θ) + péché(θ) et exp(θ) ne le sont pas et sont (correctement) réputés non physiques.

L'analyse orientationnelle de Siano est compatible avec la conception conventionnelle des quantités angulaires comme étant sans dimension, et dans l'analyse orientationnelle, le radian peut toujours être considéré comme une unité sans dimension. L'analyse orientationnelle d'une équation quantitative est effectuée séparément de l'analyse dimensionnelle ordinaire, fournissant des informations qui complètent l'analyse dimensionnelle.

Constantes Modifier

Formalismes Modifier

Paradoxalement, l'analyse dimensionnelle peut être un outil utile même si tous les paramètres de la théorie sous-jacente sont sans dimension, par exemple, des modèles de réseau tels que le modèle d'Ising peuvent être utilisés pour étudier les transitions de phase et les phénomènes critiques. De tels modèles peuvent être formulés de manière purement adimensionnelle. Au fur et à mesure que nous nous rapprochons du point critique, la distance sur laquelle les variables du modèle en réseau sont corrélées (la longueur dite de corrélation, ) devient de plus en plus grande. Maintenant, la longueur de corrélation est l'échelle de longueur pertinente liée aux phénomènes critiques, donc on peut, par exemple, supposer sur des « raisons dimensionnelles » que la partie non analytique de l'énergie libre par site du réseau devrait être 1 / ξ d > où d est la dimension du réseau.

Il a été soutenu par certains physiciens, par exemple, M. J. Duff, [20] [23] que les lois de la physique sont intrinsèquement sans dimension. Le fait que nous ayons attribué des dimensions incompatibles à la longueur, au temps et à la masse n'est, selon ce point de vue, qu'une question de convention, du fait qu'avant l'avènement de la physique moderne, il n'y avait aucun moyen de relier la masse, la longueur et le temps entre eux. Les trois constantes dimensionnelles indépendantes : c, ħ, et g, dans les équations fondamentales de la physique doivent alors être considérés comme de simples facteurs de conversion pour convertir la masse, le temps et la longueur les uns dans les autres.

Tout comme dans le cas des propriétés critiques des modèles de réseau, on peut récupérer les résultats de l'analyse dimensionnelle dans la limite d'échelle appropriée, par exemple, l'analyse dimensionnelle en mécanique peut être dérivée en réinsérant les constantes ħ, c, et g (mais nous pouvons maintenant les considérer comme sans dimension) et exigeant qu'une relation non singulière entre les quantités existe dans la limite c → ∞ , ℏ → 0 et G → 0 . Dans les problèmes impliquant un champ gravitationnel, cette dernière limite doit être prise de telle sorte que le champ reste fini.

Vous trouverez ci-dessous des tableaux d'expressions courantes en physique, liées aux dimensions de l'énergie, de la quantité de mouvement et de la force. [24] [25] [26]

Unités SI Modifier

Unités naturelles Modifier

Si c = ħ = 1 , où c est la vitesse de la lumière et ħ est la constante de Planck réduite, et une unité d'énergie fixe appropriée est choisie, alors toutes les quantités de temps T, longueur L et masse M peut être exprimé (dimensionnellement) comme une puissance d'énergie E, car la longueur, la masse et le temps peuvent être exprimés en utilisant la vitesse v, action S, et de l'énergie E: [26]

bien que la vitesse et l'action soient sans dimension ( v = c = 1 et S = ħ = 1 ) – donc la seule quantité restante avec dimension est l'énergie. En termes de puissances de dimensions :

Ceci est particulièrement utile en physique des particules et en physique des hautes énergies, auquel cas l'unité d'énergie est l'électron-volt (eV). Les contrôles dimensionnels et les estimations deviennent très simples dans ce système.

Cependant, si des charges électriques et des courants sont impliqués, une autre unité à fixer est celle de la charge électrique, normalement la charge électronique. e bien que d'autres choix soient possibles.

Quantité p, q, r pouvoirs d'énergie m
puissance de l'énergie
p q r m
Action, S −1 2 1 0
La vitesse, v −1 1 0 0
Masse, M 0 0 1 1
Longueur, L 0 1 0 −1
Temps, t 1 0 0 −1
Élan, p −1 1 1 1
Énergie, E −2 2 1 1

Domaines connexes des mathématiques Modifier

Langages de programmation Modifier

L'exactitude dimensionnelle dans le cadre de la vérification de type a été étudiée depuis 1977. [27] Des implémentations pour Ada [28] et C++ [29] ont été décrites en 1985 et 1988. La thèse de Kennedy de 1996 décrit une implémentation en Standard ML, [30] et plus tard en F#. [31] Il existe des implémentations pour Haskell, [32] OCaml, [33] et Rust, [34] Python, [35] et un vérificateur de code pour Fortran. [36]
La thèse de Griffioen en 2019 a étendu le système de type Hindley-Milner de Kennedy pour prendre en charge les matrices de Hart. [37] [38]


EFFETS À LONG TERME DE LA MUSIQUE SUR LE CERVEAU

Les expériences originales sur des adultes exposés à la musique de Mozart n'ont été que de courte durée. Dans des expériences connexes 15 , les effets à long terme de la musique ont été étudiés dans des groupes d'enfants d'âge préscolaire âgés de 3 à 4 ans qui ont suivi des cours de musique pour clavier pendant six mois, au cours desquels ils ont étudié les intervalles de hauteur, les techniques de doigté, la lecture à vue, la musique notation et lecture de mémoire. A la fin de la formation, tous les enfants ont pu interpréter des mélodies simples de Beethoven et Mozart. Lorsqu'ils l'ont fait, ils ont ensuite été soumis à des tests de raisonnement spatio-temporel calibrés pour l'âge, et leurs performances étaient supérieures de plus de 30 % à celles d'enfants du même âge recevant soit des cours d'informatique pendant 6 mois, soit aucune formation particulière (P π.001). L'amélioration était limitée au raisonnement spatio-temporel, il n'y avait aucun effet sur la reconnaissance spatiale. L'effet est resté inchangé pendant 24 heures après la fin des cours de musique, mais la durée précise de l'amélioration n'a pas été explorée plus avant. La durée plus longue des effets que dans les rapports précédents a été attribuée à la durée d'exposition à la musique et à la plus grande plasticité du cerveau jeune. Dans d'autres expériences de ce genre, il a été affirmé que l'amélioration du raisonnement spatio-temporel chez les enfants après la formation au piano a entraîné des scores significativement plus élevés en mathématiques supérieures 16 .


Localisation et quantification de l'incertitude géologique dans les modèles tridimensionnels : analyse du bassin du Gippsland, sud-est de l'Australie

Les modèles géologiques tridimensionnels (3D) sont construits pour représenter de manière fiable une cible géologique donnée. La fiabilité d'un modèle dépend fortement des données d'entrée et est sensible à l'incertitude. Cette étude examine l'incertitude introduite par les données d'orientation géologique en produisant une suite de modèles 3D implicites générés à partir de mesures d'orientation soumises à des simulations d'incertitude. L'incertitude résultante associée aux différentes régions du modèle géologique peut être localisée, quantifiée et visualisée, fournissant une méthode utile pour évaluer la fiabilité du modèle. La méthode est testée sur un environnement géologique naturel dans le bassin du Gippsland, dans le sud-est de l'Australie, où les surfaces géologiques modélisées sont évaluées pour l'incertitude. Le concept de variabilité stratigraphique est introduit et l'analyse des données d'entrée est effectuée à l'aide de deux méthodes de visualisation de l'incertitude. La visualisation de l'incertitude par la variabilité stratigraphique est conçue pour transmettre le concept complexe d'incertitude du modèle 3D au géoscientifique de manière efficace.

L'analyse de l'incertitude a déterminé que des informations sismiques supplémentaires fournissent un moyen efficace de contraindre la géologie modélisée et de réduire l'incertitude dans les régions proches des sections sismiques. Les améliorations de la fiabilité des régions à haute incertitude obtenues à l'aide des informations recueillies à partir des visualisations de l'incertitude sont quantifiées dans une étude de cas comparative. L'incertitude dans des emplacements spécifiques du modèle est identifiée et attribuée à d'éventuels désaccords entre les données sismiques et isopaques. D'autres améliorations et sources de données supplémentaires pour le modèle sont proposées sur la base de ces informations. Enfin, une méthode d'introduction des valeurs de variabilité stratigraphique comme contraintes géologiques pour l'inversion géophysique est présentée.

Points forts

► Nous examinons les effets de l'erreur de saisie des données sur la fiabilité du modèle géologique tridimensionnel. ► Nous démontrons comment l'incertitude du modèle peut être identifiée, quantifiée et visualisée. ► Nous appliquons une technique de visualisation à une étude de cas géologique naturelle dans le sud-est de l'Australie. ► Nous montrons comment les données supplémentaires appropriées peuvent améliorer la fiabilité du modèle. ► Nous suggérons comment d'autres améliorations peuvent être apportées au modèle du bassin du Gippsland.


Exemples de questions de raisonnement sur les cubes et les dés

Question 1: Quel nombre sera opposé à 2 ?

Solution: C'est un dé standard car aucun des côtés adjacents n'est 7. Comme, un dé standard, en face du no. de 2 sera

Ans est 5, (la somme du côté opposé est 7)

Question 2: Quel non sera opposé au 4 ?

Solution : C'est un dé ordinaire car la somme du côté droit et du côté gauche est 7. Donc, en face non. de 4 peut être – 1, 3 ou 6.

Donc, la réponse est → ne peut pas être déterminée.

Question 3: Quel non sera opposé à 3 ?

Solution : Nous devons vérifier la possibilité.

Ici, le nombre de dés est 1, 2, 3, 4, 5, 6 Comme pour les diagrammes 3, 2 et 4 ci-dessus. Ne peut pas être l'une des faces opposées de 2.

Donc, il y a tous éliminés seulement 1, 5 ou 6 sont des nombres possibles de faces opposées de 3.

Alors l'option b est correcte, c'est-à-dire 1/5/6.

Question 4: Quel est l'exemple d'un dé standard ?

Solution : Selon la définition des dés standard, l'une des deux faces opposées des dés doit être 7.

Ainsi, seulement dans les dés A la somme de deux faces adjacentes est 7.

La bonne réponse est donc A.

Question 5 : Quelle est la face opposée de « Rouge » ?

Solution: Le bleu est commun aux deux dés, donc en mettant le bleu comme terme constant, nous devons faire tourner deux dés dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, de sorte que le côté opposé du rouge est jaune.

Par conséquent, la bonne réponse est jaune.


Contexte d'utilisation

L'unité 2 est similaire à une activité de laboratoire qui pourrait être donnée à un cours de sciences au secondaire ou à un cours d'introduction aux géosciences de niveau collégial. Le contenu scientifique de cette unité cible les étudiants qui ont une compréhension limitée du changement climatique. Ainsi, il n'est pas nécessaire d'introduire le contenu scientifique avant de mettre en œuvre cette unité. Le contexte de l'unité 2 intègre des questions de société (par exemple, les coûts de reconstruction des communautés côtières) pour inciter les élèves à se renseigner sur le changement climatique. Cette unité est plus efficace lorsque les élèves travaillent en groupes de deux à trois. Des ordinateurs devraient être disponibles pour les étudiants afin qu'ils puissent collecter, organiser et analyser des données climatiques en ligne. Cette page fournit un aperçu de l'activité, et des documents pour les étudiants sont disponibles et peuvent être modifiés pour répondre aux besoins individuels de l'instructeur.

L'unité 2 s'aligne également sur le cadre K-12 pour l'enseignement des sciences et les normes scientifiques de la prochaine génération (NGSS) comme indiqué dans le tableau ci-dessous. Veuillez cliquer sur l'image pour l'agrandir.

En outre, l'unité 2 s'aligne également sur les normes de base communes de l'État (CCSS) pour la lecture et l'écriture dans les matières scientifiques et techniques suivantes, comme indiqué dans le tableau ci-dessous. Veuillez cliquer sur l'image pour l'agrandir.


Autres erreurs de calcul courantes

Sauter aux conclusions sur l'infini. Certains problèmes impliquant l'infini peuvent être résolus en utilisant "l'arithmétique élémentaire de l'infini". Certains étudiants sautent à la conclusion que tous les problèmes impliquant l'infini peuvent être résolus par ce genre d'"arithmétique élémentaire", et ainsi ils devinent toutes sortes de réponses incorrectes (principalement 0 ou l'infini) à de tels problèmes.

Voici un exemple de « l'arithmétique élémentaire » : si nous utilisons l'équation avec prudence, nous pouvons dire (de manière informelle) que - bien qu'il serait peut-être moins trompeur d'écrire à la place. (Mes remerciements à Hans Aberg pour cette suggestion et pour plusieurs autres suggestions sur cette page Web.) Ce que cette règle signifie vraiment, c'est que si vous prenez un nombre de taille moyenne et que vous le divisez par un nombre énorme, vous obtenez un nombre très proche de 0. Par exemple, sans faire de vrai travail, on peut utiliser cette règle pour conclure d'un coup d'œil que

Ainsi, le problème a la réponse 0. Le problème n'a pas de réponse d'une manière analogue, on pourrait dire qui est indéfinie. Cela fait ne pas signifie que "Undefined" est la réponse à tout problème de la forme . Cela signifie plutôt que chaque problème impliquant nécessite une analyse distincte. Différents problèmes de ce type ont des réponses différentes. Par exemple,

Ces deux premiers problèmes sont assez évidents, le dernier problème nécessite une analyse plus sophistiquée. Juste deviner ne vous donnerait pas une réponse de 1/2. (Si vous ne comprenez pas ce qui se passe dans le dernier problème, essayez de représenter graphiquement les fonctions et X sur un écran d'affichage sur votre calculatrice graphique. Cela peut fournir beaucoup d'informations, même si ce n'est pas une preuve.)

De la même manière, n'ont pas de réponses rapides et faciles, elles nécessitent elles aussi des analyses plus spécialisées et sophistiquées.

Voici une erreur courante mentionnée par Stuart Price : certains étudiants semblent penser que leur raisonnement est le suivant : « Quand , alors Calculez maintenant Bien sûr, ce raisonnement est juste un peu trop simpliste. Vous devez gérer les deux n dans le expression à la en même temps -- c'est-à-dire qu'ils vont tous les deux à l'infini simultanément, vous ne pouvez pas imaginer que l'un va à l'infini et que l'autre va à l'infini. Et en fait, si vous laissez d'abord l'autre aller à l'infini, vous obtiendrez une réponse différente : donc évidemment, la réponse se situe quelque part entre 1 et ∞. Cela ne nous dit pas grand-chose, mon point ici est que les méthodes simples ne ne pas travailler sur ce problème. La bonne réponse est un nombre proche de 2,718. (C'est une constante importante, connue des mathématiciens sous le nom de "e".) Il n'y a aucun moyen d'obtenir ce par une méthode facile.

Cela me rappelle une question connexe qui semble déranger de nombreux étudiants : qu'est-ce que

La raison pour laquelle une question se pose est qu'elle est discontinue en (0,0). En effet, on a x 0 =1 pour tout x>0, et on a 0 y =0 pour tout y>0. Et n'existe pas, car cette expression signifie la limite de x y lorsque le point (x, y) s'approche de (0,0) le long de tous les chemins où x y est défini.

Néanmoins, de nombreux mathématiciens (la plupart ?) définiront 0 0 = 1, juste pour plus de commodité, car cela fait fonctionner la plupart des formules (et ils noteront ensuite des exceptions pour les formules qui nécessitent une définition différente).

Par exemple, si nous travaillons avec des polynômes ou des séries entières, p(x) = a0x 0 + un1x 1 + un2x 2 + un3x 3 + . + unmxn+.
-- peut-être l'endroit le plus courant pour que 0 0 se produise -- alors il est pratique d'avoir 0 0 = 1, puisqu'un0x 0 doit être égal à a0. Le théorème binomial serait plus compliqué à écrire si nous définissions 0 0 d'une autre manière.

Problèmes avec les séries. Sean Raleigh rapporte que l'erreur de série la plus courante qu'il a vue est la suivante : si est une séquence convergeant vers 0, alors de nombreux étudiants concluent (à tort) que la série doit être convergente (c'est-à-dire qu'elle doit totaliser un nombre fini). Peut-être qu'ils ont cette croyance parce que c'est vrai pour la plupart des exemples qu'ils ont vus. La plupart des contre-exemples sont trop avancés pour être inclus dans un manuel élémentaire. Bien sûr, chaque livre de calcul donne l'exemple simple de la série harmonique : 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + . = ∞ mais un seul exemple de divergence ne semble pas l'emporter dans l'esprit des étudiants sur les nombreux exemples de convergence qu'ils ont vus.

Perte ou mauvaise utilisation des constantes d'intégration. L'intégrale indéfinie d'une fonction implique une "constante arbitraire", ce qui crée de la confusion pour de nombreux étudiants, car la notation ne transmet pas très bien le concept. Une expression telle que vraiment est censée représenter une collection infinie de fonctions -- elle représente toutes les fonctions

Voici un exemple. La formule pour Intégration par parties, dans sa forme la plus brève, est que l'on peut comprendre plus facilement comme

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx.

Maintenant, cette formule est correcte, mais elle peut facilement être mal gérée et conduire à des erreurs. Voici une erreur particulièrement amusante : Branchez et dans la formule ci-dessus. On a

∫(1/x)(1)dx = (1/x)(x) - ∫(-1/x 2 )(x)dx

Maintenant, peu importe ce que vous pensez être la valeur de vous n'avez qu'à soustraire ce montant des deux côtés de l'équation précédente, pour obtenir Attendre, comment cela peut-il être. Eh bien, si nous sommes très prudents, nous nous rendons compte que les deux des deux côtés de la dernière équation sont pas la même en fait. Qu'est-ce que cette dernière équation vraiment dit est

C'est une vraie équation, si nous choisissons les constantes et de manière appropriée - c'est-à-dire si nous les choisissons de telle sorte que Ainsi, les deux constantes ne sont pas indépendantes l'une de l'autre - elles ne sont pas complètement "arbitraires". Une explication peut-être plus précise est la suivante : les deux expressions et ne représentent pas réellement des fonctions individuelles, chacune de ces expressions représente un ensemble de fonctions.

    L'expression [ dans|x| + C1 ] représente le ensemble de toutes les fonctions de x qui peuvent être obtenues en commençant par la fonction et en ajoutant ensuite une constante.

Certains élèves parviennent à faire ce genre d'erreur même avec des intégrales définies. Ils partent de la formule = qui est correcte mais ensuite, lorsqu'ils "passent aux intégrales définies", ils obtiennent la formule = qui est ne pas correct. Si vous voulez vraiment "passer à des intégrales définies", vous devez considérer cette constante 1 comme une sorte spéciale de une fonction. Lorsque vous passez aux intégrales définies, toute fonction p(x) est remplacée par En particulier, la fonction constante 1 est la fonction donnée par p(x)=1 pour tout x. Alors devient ou 0.

Certains élèves comprendront peut-être mieux cela si nous faisons le tout avec des intégrales définies, dès le début. Utilisons la formule

une b u(x)v′(x)dx = u(b)v(b) – u(a)v(a) – ∫ une b u′(x)v(x)dx.

Notez que cette formule a un terme de plus que ma formule encadrée précédente - lorsque nous convertissons en la version intégrale définie, nous la remplaçons par Now plug in et nous obtenons

qui (en supposant que 0 n'est pas dans l'intervalle se simplifie en

ce qui est vrai - c'est-à-dire qu'il n'y a pas de contradiction ici.

Certains élèves peuvent être intrigués par les différences entre les deux versions du Intégration par parties formule (dans les cases, dans les derniers paragraphes). Je vais décrire un peu plus en détail comment passer de la formule intégrale définie (dans la dernière case) à la formule intégrale indéfinie (dans la première case de cette section). Penser à une comme une constante et b en tant que variable, et vous obtiendrez quelque chose comme ceci :

Notez que le terme est remplacé par et le terme "disparaît" car il est constant. Enfin, nous pouvons "absorber" les constantes arbitraires dans les intégrales indéfinies - c'est-à-dire que nous n'avons pas besoin d'écrire car toute intégrale indéfinie n'est déterminée qu'en ajoutant ou en soustrayant une constante de toute façon. Ainsi, nous arrivons à la formule plus brève = u(x)v(x) –

La gestion des constantes d'intégration devient encore plus compliquée dans le premier cours sur les équations différentielles, et il y a encore plus de types d'erreurs possibles. Je n'essaierai pas de tous les énumérer ici, mais voici l'erreur la plus simple et la plus courante que j'ai vue : en calcul, certains étudiants ont l'idée que vous pouvez simplement omettre le "+C" dans vos calculs intermédiaires, puis ajoutez-le à la fin de votre réponse, si vous savez quels types de problèmes nécessitent une constante arbitraire. Cela fonctionnera généralement en calcul, mais cela ne fonctionne pas dans les équations différentielles, car dans les équations différentielles, le "C" peut apparaître n'importe où - pas nécessairement sous la forme d'un "+C" à la fin de la réponse.

Voici un exemple simple : résolvons l'équation différentielle xy′+7=y (où y′ signifie dy/dx). Une façon de le résoudre consiste à suivre les étapes suivantes :

    Réécrivez le problème comme y′ – (1/x)y = – 7/x, pour montrer qu'il est linéaire.

Perte de différentiels. Cela se manifeste à la fois dans la différenciation et dans l'intégration. La "perte de différentiels" ressemble beaucoup à la "perte de parenthèses invisibles" discutée plus tôt dans ce document. Il s'agit d'un type d'écriture bâclée par étapes intermédiaires qui conduit à de réelles erreurs dans la réponse finale.

Lorsque les élèves commencent à apprendre à différencier, ils différencient toujours par rapport à la même variable, et ils ne voient donc aucune raison de mentionner cette variable. Ainsi, en différenciant la fonction y = f(x) = 7x 3 +5x, ils peuvent écrire correctement

ou ils peuvent écrire incorrectement "dy = 21x 2 +5." L'omission du "dx" de cette dernière équation ne fait pas de réelle différence dans l'esprit de l'élève, et cette omission négligente peut devenir une habitude. Mais elle causera des difficultés plus tard dans le cours. En fait, je commence à penser qu'on pourrait éviter bien des difficultés si nous déconseillons aux étudiants débutants en calcul d'utiliser les notations ou Dy. Si nous leur demandons d'utiliser la notation dy/dx , et les pénaliser pour l'avoir écrit comme mourir, nous pourrions leur éviter bien des maux de tête plus tard.

La difficulté, bien sûr, apparaît lorsque nous arrivons à la règle de la chaîne. Du coup, la question n'est plus "Quelle est la dérivée de oui", mais plutôt, " Quelle est la dérivée de oui en ce qui concerne X? en ce qui concerne vous? Comment ces deux dérivées sont-elles liées ?" L'élève qui n'a pas l'habitude de faire la distinction entre dy/dx et dy/du par écrit peut également avoir des difficultés à les distinguer sur le plan conceptuel, et aura donc des difficultés à comprendre la règle de la chaîne.

Cela conduit également à des difficultés avec le "vous-substitutions", qui est juste la règle de la chaîne transformée en une règle sur les intégrales. Par exemple :

Pour les trois premiers problèmes, l'élève essaie d'utiliser la formule (qui est une formule correcte, mais pas directement applicable). Cependant, l'étudiant l'a mal appris en tant que substitut ou ou dans cette formule pour obtenir les trois premières réponses erronées dans le tableau ci-dessus. Les expressions et ont des significations très différentes, mais vous risquez de les confondre si vous les écrivez toutes les deux sous la forme

Pour le dernier problème du tableau ci-dessus, l'élève essaie d'utiliser la formule = , qui est une formule correcte, mais qui n'est pas pertinente pour le problème actuel. L'élève a probablement mémorisé cette formule sous une forme incorrecte = Les expressions et ont des significations très différentes, mais vous risquez de les confondre si vous les écrivez toutes les deux sous la forme

Une autre façon correcte d'écrire la règle sur les logarithmes est . Puisque cela exprime tout en termes de variable X, cela peut rendre les erreurs moins probables. Certes, c'est une formule d'apparence compliquée, mais elle est préférable à une mauvaise formule. Les premier, troisième et quatrième problèmes du tableau précédent nécessitent tous des méthodes plus compliquées, l'utilisation de logarithmes ne résoudra pas les problèmes à votre place. Le problème de l'intégration nécessite en effet une moins méthode compliquée - c'est-à-dire sans logarithmes.

Nous devrions interdire aux élèves d'écrire un signe intégral sans différentiel correspondant. Tout comme tout "(" doit être associé à un ")", de même tout signe intégral doit être associé à un "dx" ou alors "du" ou alors "dt" ou quoi que ce soit. L'expression est déséquilibrée et devrait être interdite. Si nous envisageons une substitution de vous = 1+X 2 , alors est très différent de et donc l'expression est ambiguë et dénuée de sens. Si vous écrivez dans l'une de vos étapes intermédiaires, vous pouvez oublier si cela représente ou et vous pouvez passer par inadvertance de l'une à l'autre - remplaçant ainsi une quantité mathématique par une autre à laquelle elle n'est pas égale.

Soit dit en passant, certains étudiants ne savent pas si cela devrait être ou Voici une réponse. est toujours égal à ln|vous|+C, mais parfois cette réponse peut être simplifiée et parfois non. En maths, on préfère généralement écrire nos réponses sous la forme la plus simple (et on y insiste parfois). Dans les situations où nous savons que vous ne prendra que des valeurs positives (par exemple, quand ou quand le domaine est restreint de sorte que vous ne peut pas être négatif), alors devrait être écrit comme Dans ces situations où nous ne savons pas si vous sera positif, nous devrions écrire la réponse comme (Mais parfois nous omettons le signe de valeur absolue par pure paresse, justifiant cela avec l'excuse que nous pouvons réduire le domaine.)

Ces erreurs de perte de différentiels dans la différenciation et dans l'intégration peuvent être facilement détectées par un peu d'« analyse dimensionnelle » (voir plus haut). Pour ce faire, il est utile de penser en termes d'« infinitésimaux », c'est-à-dire de nombres « infiniment petits » mais toujours pas nuls. Newton et Leibniz avaient en tête les infinitésimaux lorsqu'ils ont inventé le calcul il y a 300 ans, mais ils ne savaient pas comment expliquer les infinitésimaux de manière rigoureuse. Les infinitésimaux sont devenus démodés un siècle ou deux plus tard, lorsque des preuves epsilon-delta rigoureuses ont été inventées. Si nous utilisons le système de nombres réels que la plupart des mathématiciens utilisent de nos jours, il n'y a pas d'infinitésimaux sauf 0. Mais en 1960, un logicien nommé Abraham Robinson a inventé un autre type de système de nombres réels qui inclut des infinitésimaux non nuls, il a trouvé un moyen de sauvegarder le Newton-Leibniz intuition avec des preuves rigoureuses.

Avec le point de vue Newton-Leibniz-Robinson, pensez à dx et mourir comme des infinitésimaux. À présent, dy/dx est un quotient de deux nombres infiniment petits, il pourrait donc s'agir d'un nombre de taille moyenne. Ainsi une équation telle que dy/dx = 6x 2 pourrait avoir du sens. Une équation telle que dy = 6x 2 ne peut pas être correct - le côté gauche est infiniment petit et le côté droit est de taille moyenne.

Le signe de sommation ∑ signifie additionner de manière finie ou dénombrable beaucoup de choses - par exemple,

mais ∑ n'est généralement pas utilisé pour ajouter un nombre incalculable de choses.

(Parfois, il est ainsi utilisé : la somme d'une collection arbitraire de nombres réels non négatifs est la somme des sommes d'un nombre fini de membres de cette collection. Mais toute l'action intéressante se passe sur un ensemble dénombrable. Il peut être prouvé que si plus que nombre de ces nombres ajoutés ne sont pas nuls, la somme doit être infinie. En outre, il peut y avoir d'autres utilisations plus ésotériques du symbole ∑. Mais cette page Web est destinée aux étudiants de premier cycle.)

Cependant, dans un certain sens, nous ajoutons un nombre incalculable de choses lorsque nous utilisons une intégrale. Une équation telle que = dit que nous ajoutons un nombre incalculable d'infinitésimaux, et nous obtenons un nombre de taille moyenne. Une équation telle que ∫ 3x 2 = x 3 +C ne peut pas avoir raison - cela dit que nous ajoutons un nombre incalculable de nombres de taille moyenne et obtenons un nombre de taille moyenne.

Une difficulté connexe consiste à essayer de comprendre ce que sont les « différentiels ». Les livres de calcul les plus récents ont quelques pages sur ce sujet, peu de temps avant ou après la règle de la chaîne. Je suis vraiment désolé que les auteurs de livres de calcul aient choisi de couvrir ce sujet à ce stade du livre. Je pense qu'ils font une grosse erreur en le faisant. Quand j'enseigne le calcul, je sauter cette section, avec l'intention de la couvrir dans un semestre ultérieur. Voici pourquoi :

Lorsque y=f(x), alors dy=f′(x)dx est en réalité une fonction de deux variables -- c'est une fonction à la fois de x et dx. Mais dans de nombreux manuels de calcul, ce fait n'est pas confronté directement, il est balayé sous le tapis et caché. Plusieurs centaines de pages plus loin dans la plupart des manuels de calcul, nous sommes initiés aux fonctions de deux variables, et nous leur donnons une notation décente -- par exemple, nous pouvons avoir z = h(u,v). À ce stade, l'étudiant peut commencer à comprendre les fonctions de deux variables, et nous avons des dérivées partielles, etc. Mais avant ce point, nous ne disposons pas de bonnes notations pour une fonction de deux variables. Nos étudiants en mathématiques débutants ont suffisamment de difficultés avec les abstractions même lorsqu'ils disposent d'une notation décente, comment pouvons-nous nous attendre à ce qu'ils pensent de manière abstraite sans pour autant la notation ? Ainsi, lorsque j'enseigne le calcul, je décris « dx » et « dy » comme « des morceaux de la notation sans signification propre. Je pense que cette approche est beaucoup plus douce pour les étudiants débutants.

Cette page Web a été sélectionnée comme la « page Web de mathématiques cool de la semaine », pour la semaine du 22 mai 2002, par KaBoL.


Voir la vidéo: QUEST-CE QUE LES GÉOSCIENCES? (Septembre 2021).