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Comment calculer le point (ou XY) pour le point de départ de la pente et le point final de la pente le long de la ligne de section sur le MNT


Comment calculer le point (ou XY) pour le point de départ de la pente et le point final de la pente le long de la ligne de section sur le MNT. par exemple


D'après votre diagramme, il apparaît que vous êtes intéressé par les points où le changement de dégradé est le plus important. Puisque le gradient d'une ligne mesure le taux de changement (c'est-à-dire qu'il peut être considéré comme la dérivée), alors le gradient du gradient est le taux de changement du gradient (c'est-à-dire qu'il peut être considéré comme la dérivée seconde). Ainsi, à partir de cette hypothèse, nous pouvons dire que les extrema locaux du gradient du gradient sont les endroits où le gradient change le plus, et sont donc les points de courbure maximale de la ligne.

Utilisation de Python pour un exemple rapide du calcul (j'ai transcrit et téléchargé le profil dans la capture d'écran de votre question à cet essentiel pour les personnes intéressées).

importer numpy en tant que np importer matplotlib.pyplot en tant que plt gradient = np.gradient(profile[:, 1])

Nous pouvons tracer le gradient juste pour la comparaison (notez que les extrema du gradient sont les points d'inflexion).

ax = plt.axes() ax.axis('equal') line1 = ax.plot(profile[:, 0], profile[:, 1], 'o-', label="Original profile") ax.set_ylabel ("Elevation", color="b") pour tl dans ax.get_yticklabels() : tl.set_color("b") ax2 = ax.twinx() line2 = ax2.plot(profile[:, 0], gradient, "r", label="Gradient") ax2.set_ylabel("Gradient", color="r") pour tl dans ax2.get_yticklabels() : tl.set_color("r") lns = line1 + line2 labs = [l .get_label() pour l dans lns] ax.legend(lns, labs, loc="best")

Ensuite, regardez le gradient du gradient (la concavité), et utilisez scipy.signal pour déterminer les extrema locaux.

import scipy.signal concavity = np.gradient(gradient) local_maxima = scipy.signal.argrelmax(concavity)[0] local_minima = scipy.signal.argrelmin(concavity)[0] ax = plt.axes() line1 = ax.plot (profile[:, 0], profile[:, 1], 'o-', label="Original profile") ax.axis('equal') ax.set_ylabel("Elevation", color="b") pour tl dans ax.get_yticklabels() : tl.set_color("b") ax2 = ax.twinx() line2 = ax2.plot(profile[:, 0], concavity, 'r', label="Concavity") ax2. set_ylabel("Gradient of gradient", color="r") pour tl dans ax2.get_yticklabels() : tl.set_color("r") pour i dans local_minima : line3 = ax2.axvline(profile[i, 0], color ="r", ls=":", label="Local minima") pour i dans local_maxima : line4 = ax2.axvline(profile[i, 0], color="r", ls=":", label= "Maximums locaux") lns = line1 + line2 + [line3, line4] labs = [l.get_label() pour l dans lns] ax.legend(lns, labs, loc="en haut à droite")

Notez que vous obtiendrez de nombreux extrema locaux en fonction de votre profil de pente, ce sera donc probablement au cas par cas pour déterminer ceux à considérer comme votre solution.


Pour trouver la pente, nous aurons besoin de deux points de la ligne.

je vais en choisir deux X -valeurs, branchez-les dans l'équation de la ligne et résolvez pour chaque oui -valeur. Si, disons, je choisis X = 3 , alors :

Maintenant disons que je choisis X = 9 alors :

(Au fait, j'ai choisi ces deux X -valeurs précisément parce qu'elles étaient des multiples de trois, je savais que je serais capable d'effacer le dénominateur de la fraction, donc je me retrouverais avec de beaux entiers nets pour mon résultat oui -valeurs. Ce n'est pas une règle que vous devez le faire, mais c'est une technique utile.)

Donc, les deux points que j'ai trouvés, (3, &ndash2) et (9, 2) , sont sur la ligne .

Pour trouver la pente, désignée par " m ", nous pouvons utiliser la formule suivante :

Au cas où vous n'auriez jamais rencontré ces nombres inférieurs aux variables auparavant, ils sont appelés "subscripts". Les indices sont couramment utilisés pour différencier des choses similaires ou pour compter, par exemple, dans des séquences. Dans le cas de la formule de pente, les indices indiquent simplement que nous avons un point "premier" (dont les coordonnées sont indiquées par un " 1 ") et un point "second" (dont les coordonnées sont indiquées par un " 2 "). En d'autres termes, les indices n'indiquent rien de plus que le fait que nous avons deux points sur lesquels nous travaillons.

(C'est entièrement à vous de décider quel point vous étiquetez comme "premier" et lequel vous étiquetez comme "second". Comme le veut la logique, l'angle de la ligne ne va pas changer simplement parce que vous avez regardé les deux points dans un ordre différent.

Pour le calcul des pentes avec la formule de pente, l'important est de prendre soin de soustraire les X 'le sable oui 's dans le même ordre. Pour nos deux points, si nous choisissons (3, &ndash2) comme notre "premier" point, alors nous obtenons ce qui suit :

La première oui -valeur ci-dessus, le &ndash2 , a été prise du point (3, &ndash2) le deuxième oui -valeur, le 2 , provenait du point (9, 2) le X -les valeurs 3 et 9 ont été prises à partir des deux points dans le même ordre.

Si, par contre, nous avions pris les coordonnées des points dans l'ordre inverse, le résultat aurait été exactement la même valeur :

Comme vous pouvez le voir, l'ordre dans lequel vous énumérez les points n'a vraiment pas d'importance, tant que vous soustrayez le X -valeurs dans le même ordre que vous avez soustrait le oui -valeurs. Pour cette raison, la formule de pente peut être écrite comme ci-dessus, ou alternativement elle peut également être écrite comme :

Permettez-moi d'insister sur ce point :

Peu importe laquelle des deux formules de "slope" vous utilisez, ni le point que vous choisissez comme votre "premier" et celui que vous choisissez comme votre "second". le seul ce qui compte, c'est que vous soustrayiez votre X -valeurs dans le même ordre comme vous aviez soustrait votre oui -valeurs.

Pour ceux que cela intéresse, l'équivalence des deux formules de pente ci-dessus peut être prouvée en notant ce qui suit :


9 vecteurs en trois dimensions

  • Décrire mathématiquement l'espace tridimensionnel.
  • Localisez des points dans l'espace à l'aide de coordonnées.
  • Écris la formule de distance en trois dimensions.
  • Écrivez les équations des plans et des sphères simples.
  • Effectuer des opérations vectorielles dans

Les vecteurs sont des outils utiles pour résoudre des problèmes bidimensionnels. La vie, cependant, se déroule en trois dimensions. Pour étendre l'utilisation des vecteurs à des applications plus réalistes, il est nécessaire de créer un cadre pour décrire l'espace tridimensionnel. Par exemple, bien qu'une carte en deux dimensions soit un outil utile pour naviguer d'un endroit à un autre, dans certains cas, la topographie du terrain est importante. Votre itinéraire prévu passe par les montagnes ? Faut-il traverser une rivière ? Pour apprécier pleinement l'impact de ces caractéristiques géographiques, vous devez utiliser trois dimensions. Cette section présente une extension naturelle du plan de coordonnées cartésiennes à deux dimensions en trois dimensions.

Systèmes de coordonnées tridimensionnelles

Comme nous l'avons appris, le système de coordonnées rectangulaires à deux dimensions contient deux axes perpendiculaires : l'axe horizontal X-axe et la verticale oui-axe. On peut ajouter une troisième dimension, la z-axe, qui est perpendiculaire à la fois au X-axe et le oui-axe. Nous appelons ce système le système de coordonnées rectangulaires tridimensionnelles. Il représente les trois dimensions que nous rencontrons dans la vie réelle.

Le système de coordonnées rectangulaires en trois dimensions se compose de trois axes perpendiculaires : le X-axe, le oui-axe, et le z-axe. Parce que chaque axe est une droite numérique représentant tous les nombres réels dans le système tridimensionnel est souvent désigné par

Dans (Figure)(a), le positif z-axis est indiqué au-dessus du plan contenant le X– et oui-axes. Le positif X-l'axe apparaît à gauche et le positif oui-l'axe est à droite. Une question naturelle à se poser est : Comment l'arrangement a-t-il été déterminé ? Le système affiché suit la règle de la main droite . Si nous prenons notre main droite et alignons les doigts avec le positif X-axe, puis recourbez les doigts pour qu'ils pointent dans la direction du positif oui-axe, notre pouce pointe dans la direction du positif z-axe. Dans ce texte, nous travaillons toujours avec des systèmes de coordonnées mis en place conformément à la règle de la main droite. Certains systèmes suivent une règle de la main gauche, mais la règle de la main droite est considérée comme la représentation standard.

En deux dimensions, nous décrivons un point dans le plan avec les coordonnées Chaque coordonnée décrit comment le point s'aligne avec l'axe correspondant. En trois dimensions, une nouvelle coordonnée, est ajouté pour indiquer l'alignement avec le z-axe: Un point dans l'espace est identifié par les trois coordonnées ((Figure)). Pour tracer le point va X unités le long de la X-axe, puis unités dans le sens de la oui-axe, puis unités dans le sens de la z-axe.

Pour tracer le point va unités le long de la X-axe, puis unités dans le sens de la oui-axe, puis unités dans le sens de la z-axe.

Esquissez le point dans l'espace tridimensionnel.

Pour esquisser un point, commencez par esquisser trois côtés d'un prisme rectangulaire le long des axes de coordonnées : une unité dans le sens positif direction, unités dans le négatif direction, et unités dans le positif direction. Complétez le prisme pour tracer le point ((Figure)).

Esquisse du point

Esquissez le point dans l'espace tridimensionnel.

Commencez par esquisser les axes de coordonnées. Esquisser ensuite un prisme rectangulaire pour aider à trouver le point dans l'espace.

Dans l'espace à deux dimensions, le plan de coordonnées est défini par une paire d'axes perpendiculaires. Ces axes nous permettent de nommer n'importe quel endroit dans le plan. En trois dimensions, nous définissons des plans de coordonnées par les axes de coordonnées, tout comme en deux dimensions. Il y a maintenant trois axes, donc il y a trois paires d'axes qui se croisent. Chaque paire d'axes forme un plan de coordonnées : le xy-avion, le xz-avion, et le yz-avion ((Figure)). Nous définissons le xy-plane formellement comme l'ensemble suivant : De même, le xz-avion et le yz-plan sont définis comme et respectivement.

Pour visualiser cela, imaginez que vous construisez une maison et que vous vous trouvez dans une pièce avec seulement deux des quatre murs finis. (Supposez que les deux murs finis sont adjacents l'un à l'autre.) Si vous vous tenez dos au coin où les deux murs finis se rencontrent, face à la pièce, le sol est le xy-plan, le mur à votre droite est le xz-plan, et le mur à votre gauche est le yz-avion.

En deux dimensions, les axes de coordonnées divisent le plan en quatre quadrants. De même, les plans de coordonnées divisent l'espace entre eux en huit régions autour de l'origine, appelées octants . Les octants se remplissent de la même manière que les quadrants remplissent comme indiqué dans (Figure).

La plupart des travaux dans l'espace tridimensionnel sont une extension confortable des concepts correspondants en deux dimensions. Dans cette section, nous utilisons notre connaissance des cercles pour décrire des sphères, puis nous élargissons notre compréhension des vecteurs à trois dimensions. Pour atteindre ces objectifs, nous commençons par adapter la formule de distance à l'espace tridimensionnel.

Si deux points se trouvent dans le même plan de coordonnées, il est alors simple de calculer la distance entre eux. Nous que la distance entre deux points et dans le xy-le plan de coordonnées est donné par la formule

La formule de la distance entre deux points de l'espace est une extension naturelle de cette formule.

La distance entre les points et est donné par la formule

La preuve de ce théorème est laissée en exercice. (Indice: Trouvez d'abord la distance entre les pointes et comme indiqué dans (Figure).)

La distance entre et est la longueur de la diagonale du prisme rectangulaire ayant et comme coins opposés.

Trouver la distance entre les points et

Remplacez les valeurs directement dans la formule de distance :

Trouver la distance entre les points et

Avant de passer à la section suivante, voyons comment diffère de Par exemple, dans les lignes qui ne sont pas parallèles doivent toujours se croiser. Ce n'est pas le cas dans Par exemple, considérons la ligne illustrée dans (Figure). Ces deux droites ne sont pas parallèles et ne se coupent pas non plus.

Vous pouvez également avoir des cercles interconnectés mais n'ayant aucun point en commun, comme dans (Figure).

Nous avons beaucoup plus de flexibilité en travaillant en trois dimensions que si nous nous en tenions à deux dimensions seulement.

Écrire des équations dans ℝ 3

Maintenant que nous pouvons représenter des points dans l'espace et trouver la distance entre eux, nous pouvons apprendre à écrire des équations d'objets géométriques tels que des lignes, des plans et des surfaces courbes dans Tout d'abord, nous commençons par une équation simple. Comparez les graphiques de l'équation dans ((Chiffre)). A partir de ces graphiques, nous pouvons voir que la même équation peut décrire un point, une ligne ou un plan.

(a) Dans l'équation décrit un seul point. (poubelle l'équation décrit une ligne, le oui-axe. (c) Dans l'équation décrit un avion, le yz-avion.

Dans l'espace, l'équation décrit tous les points Cette équation définit le yz-avion. De même, le xy-plane contient tous les points de la forme L'équation définit le xy-plan et l'équation Décrit le xz-avion ((Figure)).

(a) Dans l'espace, l'équation Décrit le xy-avion. (b) Tous les points du xz-plan satisfait l'équation

Comprendre les équations des plans de coordonnées nous permet d'écrire une équation pour tout plan parallèle à l'un des plans de coordonnées. Lorsqu'un plan est parallèle au xy-avion, par exemple, le z-coordonnée de chaque point dans le plan a la même valeur constante. Seulement le X– et oui-les coordonnées des points dans ce plan varient d'un point à l'autre.

  1. Le plan de l'espace parallèle au xy-plan et contient point peut être représenté par l'équation
  2. Le plan de l'espace parallèle au xz-plan et contient point peut être représenté par l'équation
  3. Le plan de l'espace parallèle au yz-plan et contient point peut être représenté par l'équation
  1. Écrire une équation du plan passant par le point qui est parallèle à la yz-avion.
  2. Trouver une équation du plan passant par des points et
  1. Lorsqu'un plan est parallèle au yz-avion, seul le oui– et z-les coordonnées peuvent varier. le X-coordinate a la même valeur constante pour tous les points de ce plan, donc ce plan peut être représenté par l'équation
  2. Chacun des points et a le même oui-coordonner. Ce plan peut être représenté par l'équation

Écrire une équation du plan passant par le point qui est parallèle à la xy-avion.

Si un plan est parallèle au xy-avion, le z-les coordonnées des points dans ce plan ne varient pas.

Comme nous l'avons vu, dans l'équation décrit la ligne verticale passant par le point Cette ligne est parallèle à la oui-axe. Dans une extension naturelle, l'équation dans décrit le plan passant par le point qui est parallèle à la yz-avion. Une autre extension naturelle d'une équation familière se trouve dans l'équation d'une sphère.

Une sphère est l'ensemble de tous les points dans l'espace équidistants d'un point fixe, le centre de la sphère ((Figure)), tout comme l'ensemble de tous les points d'un plan équidistants du centre représente un cercle. Dans une sphère, comme dans un cercle, la distance du centre à un point de la sphère est appelée la rayon.

Chaque point à la surface d'une sphère est unités éloignées du centre

L'équation d'un cercle est dérivée en utilisant la formule de distance en deux dimensions. De la même manière, l'équation d'une sphère est basée sur la formule tridimensionnelle de la distance.

La sphère avec centre et rayon peut être représenté par l'équation

Cette équation est connue comme l'équation standard d'une sphère.

Trouver l'équation standard de la sphère de centre et pointe comme indiqué dans (Figure).

La sphère centrée à point contenant

Utilisez la formule de distance pour trouver le rayon de la sphère :

L'équation standard de la sphère est

Trouver l'équation standard de la sphère de centre point contenant

Utilisez d'abord la formule de distance pour trouver le rayon de la sphère.

Laisser et et supposons un segment de ligne forme le diamètre d'une sphère ((Figure)). Trouvez l'équation de la sphère.

Segment de ligne

Depuis est un diamètre de la sphère, nous savons que le centre de la sphère est le milieu de Puis,

De plus, nous savons que le rayon de la sphère est la moitié de la longueur du diamètre. Cela donne

Alors, l'équation de la sphère est

Trouver l'équation de la sphère avec le diamètre et

Trouvez d'abord le milieu du diamètre.

Décrire l'ensemble de points qui satisfait et représenter graphiquement l'ensemble.

Nous devons avoir soit ou alors donc l'ensemble des points forme les deux plans et ((Chiffre)).

L'ensemble des points satisfaisant forme les deux plans et

Décrire l'ensemble de points qui satisfait et représenter graphiquement l'ensemble.

L'ensemble des points forme les deux plans et

L'un des facteurs doit être nul.

Décrire l'ensemble des points dans l'espace tridimensionnel qui satisfait et représenter graphiquement l'ensemble.

le X– et oui-les coordonnées forment un cercle dans le xy-plan de rayon centré à Puisqu'il n'y a aucune restriction sur la z-coordonnée, le résultat tridimensionnel est un cylindre circulaire de rayon centré sur la ligne avec Le cylindre s'étend indéfiniment dans le z-direction ((Figure)).

L'ensemble des points satisfaisant C'est un cylindre de rayon centré sur la ligne avec

Décrire l'ensemble des points dans l'espace à trois dimensions qui satisfait et représenter graphiquement la surface.

Un cylindre de rayon 4 centré sur la droite avec

Pensez à ce qui se passe si vous tracez cette équation en deux dimensions dans le xz-avion.

Travailler avec des vecteurs dans ℝ 3

Tout comme les vecteurs bidimensionnels, les vecteurs tridimensionnels sont des quantités avec à la fois une magnitude et une direction, et ils sont représentés par des segments de ligne orientés (flèches). Avec un vecteur tridimensionnel, nous utilisons une flèche tridimensionnelle.

Les vecteurs tridimensionnels peuvent également être représentés sous forme de composants. La notation est une extension naturelle du cas bidimensionnel, représentant un vecteur avec le point initial à l'origine, et point terminal Le vecteur zéro est Ainsi, par exemple, le vecteur tridimensionnel est représenté par un segment de ligne dirigé à partir du point pointer ((Chiffre)).

Vecteur est représenté par un segment de ligne dirigé à partir du point pointer

L'addition vectorielle et la multiplication scalaire sont définies de manière analogue au cas bidimensionnel. Si et sont des vecteurs, et est un scalaire, alors

Si ensuite s'écrit comme et la soustraction vectorielle est définie par

Les vecteurs unitaires standard s'étendent également facilement en trois dimensions— et — et nous les utilisons de la même manière que nous avons utilisé les vecteurs unitaires standard en deux dimensions. Ainsi, nous pouvons représenter un vecteur dans des manières suivantes :

Laisser être le vecteur de point initial et point terminal comme indiqué dans (Figure). Express à la fois sous forme de composants et en utilisant des vecteurs unitaires standard.

Le vecteur avec le point initial et point terminal

Laisser et Express sous forme de composant et sous forme d'unité standard.

Écrivez sous forme de composant d'abord. est le point terminal de

Comme décrit précédemment, les vecteurs en trois dimensions se comportent de la même manière que les vecteurs dans un plan. L'interprétation géométrique de l'addition vectorielle, par exemple, est la même dans l'espace à deux et à trois dimensions ((Figure)).

Nous avons déjà vu comment certaines propriétés algébriques des vecteurs, telles que l'addition vectorielle et la multiplication scalaire, peuvent être étendues à trois dimensions. D'autres propriétés peuvent être étendues de la même manière. Ils sont résumés ici pour notre référence.

Laisser et être des vecteurs, et laisser être un scalaire.

Multiplication scalaire:

Ajout de vecteur :

Soustraction vectorielle :

Magnitude vectorielle :

Vecteur unitaire dans la direction de v : si

Nous avons vu que l'addition vectorielle en deux dimensions satisfait les propriétés inverses commutatives, associatives et additives. Ces propriétés des opérations vectorielles sont également valables pour les vecteurs tridimensionnels. La multiplication scalaire des vecteurs satisfait la propriété distributive, et le vecteur zéro agit comme une identité additive. Les preuves pour vérifier ces propriétés en trois dimensions sont des extensions directes des preuves en deux dimensions.

Laisser et ((Chiffre)). Trouvez les vecteurs suivants.

  1. Un vecteur unitaire dans la direction de

Les vecteurs et

Laisser et Trouver un vecteur unitaire dans la direction de

Commencer par écrire sous forme de composant.

Un quart-arrière se tient sur le terrain de football et se prépare à lancer une passe. Son receveur se tient à 20 mètres sur le terrain et à 15 mètres à gauche du quart-arrière. Le quart-arrière lance la balle à une vitesse de 60 mph vers le récepteur à un angle ascendant de (voir la figure suivante). Écrivez le vecteur vitesse initial de la balle, sous forme de composant.

La première chose que nous voulons faire est de trouver un vecteur dans la même direction que le vecteur vitesse de la balle. Nous mettons ensuite à l'échelle le vecteur de manière appropriée afin qu'il ait la bonne magnitude. Considérez le vecteur s'étendant du bras du quart-arrière jusqu'à un point situé directement au-dessus de la tête du receveur à un angle de (voir la figure suivante). Ce vecteur aurait la même direction que mais il peut ne pas avoir la bonne ampleur.

Le receveur est à 20 mètres sur le terrain et à 15 mètres à gauche du quart-arrière. Par conséquent, la distance en ligne droite entre le quarterback et le receveur est de

On a Ensuite, l'ampleur de est donné par

et la distance verticale entre le récepteur et le point terminal de est

Puis et a la même direction que

Rappelons, cependant, que nous avons calculé l'ampleur de être et a de l'ampleur mph. Donc, nous devons multiplier le vecteur par une constante appropriée, On veut trouver une valeur de de sorte que mph. On a

Vérifions cela On a

Nous avons donc trouvé les bons composants pour

Supposons que le quarterback et le receveur soient au même endroit que dans l'exemple précédent. Cette fois, cependant, le quart-arrière lance le ballon à une vitesse de mph et un angle de Écrivez le vecteur vitesse initial de la balle, sous forme de composant.

Suivez le processus utilisé dans l'exemple précédent.

Concepts clés

  • Le système de coordonnées tridimensionnel est construit autour d'un ensemble de trois axes qui se coupent à angle droit en un seul point, l'origine. Triples ordonnés sont utilisés pour décrire l'emplacement d'un point dans l'espace.
  • La distance entre les points et est donné par la formule

  • Multiplication scalaire:
  • Ajout de vecteur :
  • Soustraction vectorielle :
  • Magnitude vectorielle :
  • Vecteur unitaire dans la direction de v :

Équations clés

  • Distance entre deux points dans l'espace :
  • Sphère avec centre et rayon r:

Considérons une boîte rectangulaire avec l'un des sommets à l'origine, comme illustré dans la figure suivante. Si point est le sommet opposé à l'origine, puis trouvez

  1. les coordonnées des six autres sommets de la boîte et
  2. la longueur de la diagonale de la boîte déterminée par les sommets et

une. b.

Trouver les coordonnées du point et déterminer sa distance à l'origine.

Pour les exercices suivants, décrivez et représentez graphiquement l'ensemble de points qui satisfait l'équation donnée.

Une union de deux plans : (un plan parallèle au xz-avion) ​​et (un plan parallèle au xy-avion)

Un cylindre de rayon centré sur la ligne

Écrire l'équation du plan passant par le point qui est parallèle à la xy-avion.

Écrire l'équation du plan passant par le point qui est parallèle à la xz-avion.

Trouver une équation du plan passant par des points et

Trouver une équation du plan passant par des points et

Pour les exercices suivants, trouvez l'équation de la sphère sous forme standard qui satisfait les conditions données.

Centre et rayon

Centre et rayon

Diamètre et

Diamètre et

Pour les exercices suivants, trouvez le centre et le rayon de la sphère avec une équation sous forme générale qui est donnée.

Centre et rayon

Pour les exercices suivants, exprimez le vecteur avec le point initial à et le point terminal à

et

une. b.

et

et est le milieu du segment de droite

une. b.

et est le milieu du segment de droite

Trouver le point terminal de vecteur avec le point initial à

Trouver le point initial de vecteur avec le point terminal à

Pour les exercices suivants, utilisez les vecteurs donnés et trouver et exprimer les vecteurs et sous forme de composant.

Pour les exercices suivants, les vecteurs vous et v sont donnés. Trouver les grandeurs des vecteurs et

est un nombre réel.

est un nombre réel.

Pour les exercices suivants, trouvez le vecteur unitaire dans la direction du vecteur donné et l'exprimer à l'aide de vecteurs unitaires standard.

et

et

et

Déterminer si et sont des vecteurs équivalents, où et

Déterminer si les vecteurs et sont équivalents, où et

Pour les exercices suivants, trouvez le vecteur avec une grandeur qui est donnée et satisfait les conditions données.

et avoir le même sens

et avoir le même sens

et ont des directions opposées pour tout est un nombre réel

et ont des directions opposées pour tout est un nombre réel

Déterminer un vecteur de grandeur dans la direction du vecteur et

Trouver un vecteur de grandeur qui pointe dans la direction opposée au vecteur et Exprimez la réponse sous forme de composant.

Considérez les points et et sont des nombres réels négatifs. Trouve et tel que

Considérez les points et et sont des nombres réels positifs. Trouve et tel que

Laisser être un point situé à égale distance des points et Montrer ce point se trouve sur le plan d'équation

Laisser être un point situé à égale distance de l'origine et du point Montrer que les coordonnées du point satisfaire l'équation

Les points et sont colinéaires (dans cet ordre) si la relation est satisfait. Montre CA et sont des points colinéaires.

Montrez que les points et ne sont pas colinéaires.

[T] Une force de agit sur une particule dans la direction du vecteur

  1. Exprimez la force sous forme de vecteur sous forme de composant.
  2. Trouver l'angle entre la force et la direction positive de la X-axe. Exprimez la réponse en degrés arrondis à l'entier le plus proche.

une. b.

[T] Une force de agit sur une boîte dans la direction du vecteur

  1. Exprimez la force sous forme de vecteur en utilisant des vecteurs unitaires standard.
  2. Trouver l'angle entre la force et la direction positive de la X-axe.

Si est une force qui déplace un objet d'un point à un autre point alors le vecteur de déplacement est défini comme Un conteneur métallique est soulevé m verticalement par une force constante Exprimer le vecteur de déplacement en utilisant des vecteurs unitaires standards.

Une boîte est tirée m horizontalement dans le X-direction par une force constante Trouvez le vecteur de déplacement sous forme de composant.

La somme des forces agissant sur un objet est appelée la résultant ou alors force nette. Un objet est dit en équilibre statique si la force résultante des forces qui agissent sur lui est nulle. Laisser et être trois forces agissant sur une boîte. Trouver la force agissant sur la boîte de telle sorte que la boîte soit en équilibre statique. Exprimez la réponse sous forme de composant.

[T] Laisser être forces agissant sur une particule, avec

  1. Trouver la force nette Exprimez la réponse à l'aide de vecteurs unitaires standard.
  2. Utilisez un système de calcul formel (CAS) pour trouver m tel que

La force de gravité agir sur un objet est donné par m est la masse de l'objet (exprimée en kilogrammes) et est l'accélération résultant de la gravité, avec Une boule disco de 2 kg est suspendue par une chaîne au plafond d'une pièce.

  1. Trouver la force de gravité agir sur la boule disco et trouver son ampleur.
  2. Trouver la force de tension dans la chaîne et son ampleur.
    Exprimez les réponses en utilisant des vecteurs unitaires standard.

une. Nb. N

Un lustre suspendu de 5 kg est conçu de manière à ce que le bol en albâtre soit maintenu par quatre chaînes de longueur égale, comme le montre la figure suivante.

  1. Trouvez l'ampleur de la force de gravité agissant sur le lustre.
  2. Trouvez les amplitudes des forces de tension pour chacune des quatre chaînes (supposez que les chaînes sont essentiellement verticales).

[T] Un bloc de ciment de 30 kg est suspendu par trois câbles d'égale longueur qui sont ancrés aux points et La charge est située à comme le montre la figure suivante. Laisser et être les forces de traction résultant de la charge dans les câbles et respectivement.

  1. Trouver la force gravitationnelle agissant sur le bloc de ciment qui contrebalance la somme des forces de tension dans les câbles.
  2. Trouver des forces et Exprimez la réponse sous forme de composant.

une. Nb. et (chaque composante est exprimée en newtons)

Deux joueurs de football s'entraînent pour un match à venir. L'un d'eux court à 10 m du point UNE pointer B. Elle tourne ensuite à gauche à et court 10 m jusqu'à ce qu'elle atteigne le point C. Ensuite, elle frappe le ballon à une vitesse de 10 m/sec avec un angle ascendant de à sa coéquipière, qui se trouve au point UNE. Écrivez la vitesse de la balle sous forme de composant.

Laisser être le vecteur position d'une particule à l'instant et sont des fonctions lisses sur La vitesse instantanée de la particule au temps est défini par le vecteur avec des composants qui sont les dérivés par rapport à des fonctions X, oui, et z, respectivement. La magnitude du vecteur vitesse instantanée est appelé le vitesse de la particule au temps t. Vecteur avec des composants qui sont les dérivées secondes par rapport à des fonctions et respectivement, donne l'accélération de la particule au temps Considérer le vecteur position d'une particule au temps où les composants de sont exprimés en centimètres et le temps est exprimé en secondes.

  1. Trouvez la vitesse, la vitesse et l'accélération instantanées de la particule après la première seconde. Arrondissez votre réponse à deux décimales.
  2. Utilisez un CAS pour visualiser le chemin de la particule, c'est-à-dire l'ensemble de tous les points de coordonnées

une. (chaque composante est exprimée en centimètres par seconde) (exprimé en centimètres par seconde) (chaque composante exprimée en centimètres par seconde au carré)

[T] Laisser être le vecteur position d'une particule au temps (en secondes), où (ici les composants de sont exprimés en centimètres).

  1. Trouvez la vitesse, la vitesse et l'accélération instantanées de la particule après les deux premières secondes. Arrondissez votre réponse à deux décimales.
  2. Utiliser un CAS pour visualiser le chemin de la particule défini par les points

Glossaire

plan de coordonnées un plan contenant deux des trois axes de coordonnées dans le système de coordonnées tridimensionnel, nommé par les axes qu'il contient : le xy-avion, xz-avion, ou le yz-règle de la main droite plane une façon courante de définir l'orientation du système de coordonnées tridimensionnel lorsque la main droite est incurvée autour de la z-axe de telle manière que les doigts s'enroulent du positif X-axe vers le positif oui-axe, le pouce pointe dans la direction du positif z-axe octants les huit régions de l'espace créées par les plans de coordonnées sphère l'ensemble de tous les points équidistants d'un point donné connu sous le nom de centre équation standard d'une sphère décrit une sphère de centre et rayon système de coordonnées rectangulaires tridimensionnel un système de coordonnées défini par trois lignes qui se coupent à angle droit chaque point dans l'espace est décrit par un triple ordonné qui trace son emplacement par rapport aux axes de définition

Brève explication d'un diagramme de phases

La transition de phase peut être représentée par un diagramme de phase. Un diagramme de phase est une représentation visuelle de la façon dont une substance change de phase.

Ceci est un exemple de diagramme de phases. Souvent, lorsqu'on vous interroge sur une transition de phase, vous devrez vous référer à un diagramme de phase pour y répondre. Ces diagrammes ont généralement le point d'ébullition normal et le point de fusion normal marqués dessus, et ont les pressions sur l'axe des y et les températures sur l'axe des x. La courbe du bas marque les combinaisons de température et de pression dans lesquelles la substance va se sublimer (1) . La gauche gauche marque les combinaisons de température et de pression dans lesquelles la substance va fondre (1) . Enfin, la ligne de droite marque les conditions dans lesquelles la substance va s'évaporer (1) .


Comment calculer la déflexion du faisceau

Il existe de nombreuses situations dans les applications de mouvement où un guide linéaire ou un actionneur n'est pas entièrement pris en charge sur toute sa longueur. Dans ces cas, la déflexion (due au poids du composant et aux charges et forces appliquées) peut affecter les propriétés de fonctionnement des roulements et provoquer un mauvais fonctionnement, sous la forme d'une usure prématurée et d'un grippage.

Les produits qui peuvent être montés avec uniquement des supports d'extrémité, tels que des arbres linéaires ou des ensembles d'actionneurs, ou dans une orientation en porte-à-faux, tels que des roulements télescopiques, auront généralement une spécification de déviation maximale admissible. Il est important de vérifier l'application et de s'assurer que cette déflexion maximale n'est pas dépassée. Heureusement, la plupart des guides et actionneurs linéaires peuvent être modélisés sous forme de poutres, et leur déflexion peut être calculée à l'aide d'équations de déflexion de faisceau courantes.

Considérations relatives aux matériaux et à la conception

Lors du calcul de la déflexion, vous devez connaître les propriétés du guide ou de l'actionneur et les conditions de la charge appliquée. Au niveau du guide ou actionneur, les critères importants sont le module d'élasticité et le moment d'inertie planaire du composant. Le module d'élasticité est une mesure de la rigidité du matériau et peut généralement être trouvé dans le catalogue de produits. Le moment d'inertie décrit la résistance d'un objet à la flexion et est parfois fourni par le fabricant du composant. Si le moment d'inertie n'est pas spécifié, il peut être raisonnablement estimé en utilisant l'équation du moment d'inertie pour un cylindre plein ou creux (pour arbre rond linéaire) ou un rectangle (roulement télescopique ou actionneur linéaire).

Le module d'élasticité, également connu sous le nom de module de Young ou module de traction, peut être défini comme le rapport de la contrainte (force par unité de surface) sur un axe, à la déformation (rapport de déformation sur une longueur) le long de cet axe.

Le moment d'inertie planaire (également appelé deuxième moment d'aire ou moment d'inertie d'aire) définit la façon dont les points d'une aire sont distribués par rapport à un plan arbitraire et, par conséquent, sa résistance à la flexion.

Du point de vue de l'application et de la construction, les critères qui influencent la déflexion de la poutre sont le type de support aux extrémités de la voie de guidage ou de l'actionneur, la charge appliquée et la longueur non supportée. Lorsqu'un composant est en porte-à-faux, il peut être modélisé comme une poutre fixe, et lorsqu'il est supporté aux deux extrémités, il peut généralement être modélisé comme une poutre simplement supportée. Pour les poutres en porte-à-faux, la déflexion maximale se produira lorsque la charge est située à l'extrémité libre de la poutre, tandis que pour les poutres simplement supportées, la déflexion maximale se produira lorsque la charge est située au centre de la poutre.

Lors de la détermination de la déviation totale, gardez à l'esprit qu'il y aura deux charges qui provoquent une déflexion : le poids du guide ou de l'actionneur lui-même et la charge appliquée. Le propre poids du composant peut presque toujours être modélisé comme une charge uniformément répartie, tout en évaluant la charge appliquée comme une charge ponctuelle à l'emplacement de la déflexion maximale (à l'extrémité libre d'une poutre en porte-à-faux ou au centre d'une poutre simplement supportée) fournira généralement le pire des cas pour la déviation totale.

Déflexion des poutres en porte-à-faux

Les roulements télescopiques sont souvent en porte-à-faux et certaines configurations de robots cartésiens entraînent un actionneur en porte-à-faux sur l'axe Y ou Z. Dans ce cas, le poids de la poutre, qui est raisonnablement uniforme sur toute sa longueur, provoque une déflexion maximale à l'extrémité de la poutre.

Crédit image : wikipedia.org

Cette flèche est calculée comme :

q = force par unité de longueur (N/m, lbf/in)

L = longueur non supportée (m, in)

E = module d'élasticité (N/m 2 , lbf/in 2 )

I = moment d'inertie planaire (m 4 , in 4 )

Pour générer le pire scénario de déflexion, nous considérons la charge appliquée comme une charge ponctuelle (F) à l'extrémité de la poutre, et la déflexion résultante peut être calculée comme suit :

L'ajout de la flèche due à la charge uniforme et de la flèche due à la charge (ponctuelle) appliquée donne la flèche totale à l'extrémité de la poutre :

Déviation de poutres simplement appuyées

Les arbres linéaires et les actionneurs sont souvent fixés à leurs extrémités, laissant leur longueur sans support, un peu comme une poutre simplement supportée. La charge uniforme sur la poutre (le propre poids de l'arbre ou de l'actionneur) induira une déflexion maximale au centre de la poutre, qui peut être calculée comme suit :

Puisqu'il s'agit d'une poutre simplement supportée, la charge appliquée peut être modélisée comme une charge ponctuelle au centre de la poutre pour le pire des cas.

Crédit image : wikipedia.org

La flèche due à la charge appliquée dans cette condition est calculée comme suit :

La déviation totale au centre de la poutre est :

Déflexion des arbres avec deux roulements

Lorsque deux roulements sont utilisés sur une poutre simplement supportée, comme c'est généralement le cas avec les guides d'arbres ronds, la charge appliquée est répartie entre les deux roulements et une déflexion maximale se produit à deux endroits : à l'emplacement de chaque roulement lorsque l'ensemble de roulement (parfois appelé chariot ou table) se trouve au milieu de l'arbre.

Crédit d'image : Thomson linéaire

Le calcul de la déflexion du faisceau pour cette condition est :

Encore une fois, nous devons ajouter la déflexion due au poids propre de la poutre, plus la déflexion due à la charge appliquée, pour obtenir une déflexion totale de :

Il existe des scénarios de montage et de chargement supplémentaires qui peuvent être rencontrés dans certaines applications, comme un actionneur avec un support fixe aux deux extrémités. Mais comme les exemples ci-dessus, ceux-ci peuvent être évalués à l'aide d'équations de déflexion de faisceau standard. Pour une liste complète des scénarios de support de poutre et des équations de déflexion, consultez cette page de l'Université Cornell.


Comment calculer le point (ou XY) pour le point de départ de la pente et le point final de la pente le long de la ligne de section sur le MNT - Systèmes d'information géographique

Nous n'avons toujours pas répondu à l'une de nos premières questions sur la pente d'une surface : en partant d'un point sur une surface donné par $f(x,y)$, et en marchant dans une direction particulière, quelle est la pente de la surface ? Nous sommes maintenant prêts à répondre à la question.

On sait déjà à peu près ce qu'il faut faire : comme le montre la figure 14.3.1, on prolonge une droite dans le plan $x$-$y$ jusqu'à un plan vertical, puis on calcule la pente de la courbe qui est la croix -section de la surface dans ce plan. La principale pierre d'achoppement est que ce qui apparaît dans ce plan être l'axe horizontal, à savoir la ligne dans le plan $x$-$y$, n'est pas un axe réel&mdashnous ne savons rien des "unités" le long de l'axe. Notre objectif est de transformer cette ligne en un axe $t$ alors nous avons besoin de formules pour écrire $x$ et $y$ en fonction de cette nouvelle variable $t$ alors nous pouvons écrire $z$ en termes de $t$ puisque nous savons $ z$ en termes de $x$ et $y$ et finalement nous pouvons simplement prendre la dérivée.

Nous devons donc en quelque sorte "marquer" les unités sur la ligne, et nous avons besoin d'un moyen pratique de faire référence à la ligne dans les calculs. Il s'avère que nous pouvons accomplir les deux en utilisant la forme vectorielle d'une ligne. Supposons que $< f u>$ est un vecteur unitaire $langle u_1,u_2 angle$ dans la direction d'intérêt. Une équation vectorielle pour la droite passant par $(x_0,y_0)$ dans cette direction est $<f v>(t )=langle u_1t+x_0,u_2t+y_0 angle$. La hauteur de la surface au-dessus du point $(u_1t+x_0,u_2t+y_0)$ est $g(t)=f(u_1t+x_0,u_2t+y_0 )$. Étant donné que $f u$ est un vecteur unitaire, la valeur de $t$ est précisément la distance le long de la ligne de $(x_0,y_0)$ à $(u_1t+x_0,u_2t+y_0)$ cela signifie que la ligne est effectivement un axe $t$, avec l'origine au point $(x_0,y_0)$, donc la pente que nous cherchons est $eqalign< g'(0)&=langle f_x(x_0,y_0),f_y (x_0,y_0) anglecdot langle u_1,u_2 anglecr &=langle f_x,f_y anglecdot<f u>cr &= abla fcdot <f u>cr >$ Ici, nous avons utilisé la règle de la chaîne et les dérivées $(u_1t+x_0)=u_1$ et $(u_2t+y_0)=u_2$. Le vecteur $langle f_x,f_y angle$ est très utile, il a donc son propre symbole, $ abla f$, prononcé "del f'' il est aussi appelé le pente de $f$.

Exemple 14.5.1 Trouver la pente de $z=x^2+y^2$ à $(1,2)$ dans la direction du vecteur $langle 3,4 angle$.

On calcule d'abord le gradient à $(1,2)$ : $ abla f=langle 2x,2y angle$, soit $langle 2,4 angle$ à $(1,2)$. Un vecteur unitaire dans la direction désirée est $langle 3/5,4/5 angle$, et la pente désirée est alors $langle 2,4 anglecdotlangle 3/5,4/5 angle= 6/5+16/5=22/5$.

Exemple 14.5.2 Trouver un vecteur tangent à $z=x^2+y^2$ en $(1,2)$ dans la direction du vecteur $langle 3,4 angle$ et montrer qu'il est parallèle à le plan tangent en ce point.

Puisque $langle 3/5,4/5 angle$ est un vecteur unitaire dans la direction souhaitée, nous pouvons facilement l'étendre en un vecteur tangent simplement en ajoutant la troisième coordonnée calculée dans l'exemple précédent : $langle 3/5 ,4/5,22/5 angle$. Pour voir que ce vecteur est parallèle au plan tangent, nous pouvons calculer son produit scalaire avec une normale au plan. On sait qu'une normale au plan tangent est $langle f_x(1,2),f_y(1,2),-1 angle = langle 2,4,-1 angle,$ et le produit scalaire est $ langle 2,4,-1 anglecdotlangle 3/5,4/5,22/5 angle=6/5+16/5-22/5=0$, donc les deux vecteurs sont perpendiculaires. (Notez que le vecteur normal à la surface, à savoir $langle f_x,f_y,-1 angle$, est simplement le dégradé avec un $-1$ ajouté comme troisième composant.)

La pente d'une surface donnée par $z=f(x,y)$ dans la direction d'un vecteur (bidimensionnel) $f u$ est appelée la dérivée directionnelle de $f$, écrit $D_<f u>f$. La dérivée directionnelle nous fournit immédiatement quelques informations supplémentaires. On sait que $D_<f u>f= abla fcdot <f u>=| abla f||<f u>|cos heta= | abla f|cos heta$ si $f u$ est un vecteur unité $ heta$ est l'angle entre $ abla f$ et $f u$. Cela nous indique immédiatement que la plus grande valeur de $D_<f u>f$ se produit lorsque $cos heta=1$, à savoir, lorsque $ heta=0$, donc $ abla f$ est parallèle à $ bf u$. En d'autres termes, le gradient $ abla f$ pointe dans la direction de la montée la plus raide de la surface, et $| abla f|$ est la pente dans cette direction. De même, la plus petite valeur de $D_<f u>f$ se produit lorsque $cos heta=-1$, à savoir, lorsque $ heta=pi$, donc $ abla f$ est anti-parallèle à $ f u$. En d'autres termes, $- abla f$ pointe dans la direction de la descente la plus raide de la surface, et $-| abla f|$ est la pente dans cette direction.

Exemple 14.5.3 Étudiez la direction de la montée et de la descente les plus raides pour $z=x^2+y^2$.

Le gradient est $langle 2x,2y angle=2langle x,y angle$ c'est un vecteur parallèle au vecteur $langle x,y angle$, donc la direction de la montée la plus raide est directement éloignée du origine, en commençant au point $(x,y)$. La direction de descente la plus raide est donc directement vers l'origine à partir de $(x,y)$. Notez qu'à $(0,0)$ le vecteur gradient est $langle 0,0 angle$, qui n'a pas de direction, et il est clair d'après le tracé de cette surface qu'il y a un point minimum à l'origine, et les vecteurs tangents dans toutes les directions sont parallèles au plan $x$-$y$.

Si $ abla f$ est perpendiculaire à $f u$, $D_<f u>f=| abla f|cos(pi/2)=0$, puisque $cos(pi/2 )=0$. Cela signifie que dans l'une ou l'autre des deux directions perpendiculaires à $ abla f$, la pente de la surface est 0, ce qui implique qu'un vecteur dans l'une ou l'autre de ces directions est tangent à la courbe de niveau en ce point. En commençant par $ abla f=langle f_x,f_y angle$, il est facile de trouver un vecteur perpendiculaire à celui-ci : soit $langle f_y,-f_x angle$ soit $langle -f_y,f_x angle$ va travail.

Si $f(x,y,z)$ est une fonction de trois variables, tous les calculs se déroulent essentiellement de la même manière. La vitesse à laquelle $f$ change dans une direction particulière est $ abla fcdot<f u>$, où maintenant $ abla f=langle f_x,f_y,f_z angle$ et $<f u> =langle u_1,u_2,u_3 angle$ est un vecteur unitaire. Encore une fois $ abla f$ pointe dans la direction du taux d'augmentation maximum, $- abla f$ pointe dans la direction du taux de diminution maximum, et tout vecteur perpendiculaire à $ abla f$ est tangent à la surface plane $f (x,y,z)=k$ au point en question. Bien sûr, il n'y a plus que deux de ces vecteurs, les vecteurs perpendiculaires à $ abla f$ décrivent le plan tangent à la surface plane, ou en d'autres termes $ abla f$ est une normale au plan tangent.

Exemple 14.5.4 Supposons que la température en un point de l'espace soit donnée par $T(x,y,z)=T_0/(1+x^2+y^2+z^2)$ à l'origine la température en Kelvin est $T_0>0$, et il diminue dans toutes les directions à partir de là. Il se peut, par exemple, qu'il y ait une source de chaleur à l'origine, et à mesure qu'on s'éloigne de la source, la température diminue. Le gradient est $eqalign< abla T&=langle <-2T_0xover (1+x^2+y^2+z^2)^2>, <-2T_0yover (1+x^2+y ^2+z^2)^2>,<-2T_0zover (1+x^2+y^2+z^2)^2> anglecr &=<-2T_0over (1+x^ 2+y^2+z^2)^2>langle x,y,z angle.cr >$ Le gradient pointe directement à l'origine du point $(x,y,z)mdash en se déplaçant directement vers le source de chaleur, nous augmentons la température le plus rapidement possible.

Exemple 14.5.5 Trouver les points sur la surface définie par $x^2+2y^2+3z^2=1$ où le plan tangent est parallèle au plan défini par $3x-y+3z=1$.

Deux plans sont parallèles si leurs normales sont parallèles ou anti-parallèles, nous voulons donc trouver les points sur la surface avec des normales parallèles ou anti-parallèles à $langle 3,-1,3 angle$. Soit $f=x^2+2y^2+3z^2$ le gradient de $f$ est normal à la surface plane en tout point, donc on cherche un gradient parallèle ou anti-parallèle à $langle 3, -1,3 angle$. Le gradient est $langle 2x,4y,6z angle$ s'il est parallèle ou anti-parallèle à $langle 3,-1,3 angle$, alors $langle 2x,4y,6z angle=k langle 3,-1,3 angle$ pour quelques $k$. Cela signifie que nous avons besoin d'une solution aux équations $2x=3kqquad 4y=-kqquad 6z=3k$ mais ce sont trois équations à quatre inconnues&mdashnous avons besoin d'une autre équation. Ce que nous n'avons pas utilisé jusqu'à présent, c'est que les points que nous cherchons sont sur la surface $x^2+2y^2+3z^2=1$ c'est la quatrième équation. Si nous résolvons les trois premières équations pour $x$, $y$ et $z$ et substituons dans la quatrième équation nous obtenons $eqalign< 1&=left(<3kover2> ight)^2+2 gauche(<-kover4> ight)^2+3left(<3kover6> ight)^2cr &=left(<9over4>+<2over16>+<3 over4> ight)k^2cr &=<25over8>k^2cr >$ donc $ds k=pm<2sqrt2over 5>$. Les points souhaités sont $dsleft(<3sqrt2over5>,-, ight)$ et $dsleft(-<3sqrt2 over5>,,- ight)$. L'ellipsoïde et les trois plans sont représentés sur la figure 14.5.1.


Comment calculer le point (ou XY) pour le point de départ de la pente et le point final de la pente le long de la ligne de section sur le MNT - Systèmes d'information géographique

La différenciation symbolique des fonctions est un sujet qui est introduit dans tous les cours élémentaires de Calcul. La différenciation numérique des signaux numérisés est une application de ce concept qui a de nombreuses utilisations dans le traitement analytique du signal. La dérivée première d'un signal est le taux de variation de y avec x, c'est-à-dire dy/dx, qui est interprété comme le pente de la tangente au signal en chaque point, comme illustré par l'animation à gauche (script). En supposant que l'intervalle x entre les points adjacents est constant, l'algorithme le plus simple pour calculer une dérivée première est :

où X'j Andy'j sont les valeurs X et Y du j ème point de la dérivée, n = nombre de points dans le signal, et X est la différence entre les valeurs X des points de données adjacents. Une variante couramment utilisée de cet algorithme calcule la pente moyenne entre trois points adjacents :

C'est ce qu'on appelle un différence-centrale méthode, son avantage est qu'elle n'implique pas de décalage de la position sur l'axe des x de la dérivée. Il est également possible de calculer segment d'écart dérivées dans lesquelles l'intervalle sur l'axe des x entre les points dans les expressions ci-dessus est supérieur à un, par exemple, Yj-2 Andyj+2, ou Oj-3 Andyj+3, etc. Il s'avère que cela équivaut à appliquer un lissage à moyenne mobile (rectangulaire) en plus de la dérivée.

le dérivée seconde est la dérivée de la dérivée : c'est une mesure de la courbure du signal, c'est-à-dire le taux de variation de la pente du signal. Il peut être calculé en appliquant le calcul de la dérivée première deux fois de suite. L'algorithme le plus simple pour le calcul direct de la dérivée seconde en une étape est

De même, les ordres dérivés supérieurs peuvent être calculés en utilisant la séquence de coefficients appropriée : par exemple +1, -2, +2, -1 pour la dérivée troisième et +1, -4, +6, -4, +1 pour la 4 dérivée, bien que ces dérivées puissent également être calculées simplement en prenant des dérivées successives d'ordre inférieur. La dérivée première peut être interprétée comme la pente de l'original en chaque point, et la dérivée seconde comme courbure, mais au-delà de cela, nous n'avons pas d'étiquettes à un seul mot, chaque dérivé n'est que le taux de changement de celui qui le précède.

Le lissage de Savitzky-Golay peut également être utilisé comme algorithme de différenciation avec le choix approprié d'arguments d'entrée, il combine différenciation et lissage en un seul algorithme.

le précision de différenciation numérique est démontrée par le script Matlab/Octave GaussianDerivatives.m (graphique), qui compare l'exact analytique expressions pour les dérivées d'une gaussienne (obtenue facilement de Wolfram Alpha) à la numérique valeurs obtenues par les expressions ci-dessus, démontrant que la forme et l'amplitude des dérivées correspondent exactement tant que l'intervalle d'échantillonnage n'est pas trop grossier. Il montre également que le nombre mla dérivée peut être obtenue exactement en appliquant m premières différenciations successives. En fin de compte, la limitation de précision numérique de l'ordinateur peut être une limitation dans certains cas extrêmes.

Propriétés de base des signaux dérivés

La figure de gauche montre les résultats de la différenciation successive d'un signal de pic gaussien généré par ordinateur (cliquez pour voir la figure en taille réelle). Le signal dans chacune des quatre fenêtres est la dérivée première de celle qui la précède, c'est-à-dire la fenêtre 2 est la dérivée première de la fenêtre 1, la fenêtre 3 est la dérivée première de la fenêtre 2, la fenêtre 3 est la deuxième dérivé de la fenêtre 1, et ainsi de suite. Vous pouvez prédire la forme de chaque signal en rappelant que la dérivée est simplement la pente du signal d'origine : là où un signal monte, sa dérivée est positive là où un signal descend, sa dérivée est négative et là où un signal a une pente nulle, sa dérivée est nulle. (Code Matlab/Octave pour cette figure.)

Le signal sigmoïde montré dans la fenêtre 1 a un point d'inflexion (point où la pente est maximale) au centre de la plage de l'axe x. Cela correspond à la maximum dans sa dérivée première (Fenêtre 2) et à la passage à zéro (point où le signal croise l'axe des abscisses allant soit du positif au négatif soit vice versa) dans la dérivée seconde dans la fenêtre 3. Ce comportement peut être utile pour localiser avec précision le point d'inflexion dans un signal sigmoïde, en calculant l'emplacement du passage par zéro dans sa dérivée seconde. De même, l'emplacement du maximum dans un signal de type crête peut être calculé précisément en calculant l'emplacement du passage par zéro dans sa dérivée première. Différentes formes de pics ont différentes formes de dérivées : la fonction Matlab/Octave DerivativeShapeDemo.m montre les premières formes dérivées de 16 formes de pics de modèles différents (graphique). Toute forme de pic lisse avec un seul maximum a des dérivées séquentielles qui présentent une série de maxima et minima alternés, dont le nombre total est un de plus que l'ordre dérivé. Les dérivées d'ordre pair ont un maximum ou un minimum au centre du pic, et les dérivées d'ordre impair ont un passage par zéro au centre du pic (code graphique, Matlab/Octave). Vous pouvez également voir ici que l'amplitude numérique des dérivées (valeurs de l'axe des y) est bien inférieure au signal d'origine, car les dérivées sont les différences entre les valeurs y adjacentes, divisé par l'incrément de la variable indépendante. (C'est la même raison pour laquelle le compteur kilométrique de votre voiture affiche généralement un nombre beaucoup plus grand que le compteur de vitesse, le compteur de vitesse est essentiellement la première dérivée du compteur kilométrique).

Une propriété importante de la différenciation des signaux de type pic est l'effet du pic largeur sur l'amplitude des dérivées. La figure de gauche montre les résultats de la différenciation successive de deux bandes gaussiennes générées par ordinateur (cliquez pour voir la figure en taille réelle). Les deux bandes ont la même amplitude (hauteur du pic) mais l'une d'elles est exactement le double de la largeur de l'autre. Comme vous pouvez le voir, le plus large le pic a le plus petit amplitude dérivée, et l'effet devient plus perceptible à des ordres dérivés plus élevés. En général, on constate que l'amplitude du n e dérivée d'un pic est inversement proportionnelle au n e puissance de sa largeur, pour des signaux ayant la même forme et la même amplitude. Ainsi, la différenciation discrimine en fait des pics plus larges et plus l'ordre de différenciation est élevé, plus la discrimination est grande. Ce comportement peut être utile dans les applications analytiques quantitatives pour détecter des pics superposés et masqués par des pics de fond plus forts mais plus larges. (code Matlab/Octave pour cette figure). L'amplitude d'une dérivée d'un pic dépend aussi de la façonner du pic et est directement proportionnel à son pic la taille. Les formes de pics gaussiens et lorentziens ont des formes et des amplitudes de dérivées première et seconde légèrement différentes. L'amplitude du n e dérivée d'un pic gaussien de hauteur H et de largeur W peut être estimée par l'équation empirique H*(10^(0,027*n^2+n*0,45-0,31)).*W^(-n), où W est le pleine largeur à mi-hauteur (FWHM) mesurée en nombre de points de données x,y.

Bien que la différenciation change la forme de type de pointe signale de manière drastique, un périodique signal comme un signal sinusoïdal se comporte très différemment. La dérivée d'une onde sinusoïdale de fréquence F est un déphasé onde sinusoïdale ou onde cosinusoïdale de la même fréquence et avec une amplitude proportionnelle à F, comme on peut le démontrer dans Wolfram Alpha. La dérivée d'un signal périodique contenant plusieurs composantes sinusoïdales de fréquence différente sera contiennent toujours ces mêmes fréquences, mais avec des amplitudes et des phases altérées. Pour cette raison, lorsqu'un signal musical ou vocal est différencié, la musique ou la parole est toujours complètement reconnaissable, mais avec les hautes fréquences augmentées en amplitude par rapport aux basses fréquences, et par conséquent, cela sonne "mince" ou "mince". . Voir cette démonstration pour un exemple.

Applications de la différenciation

Un exemple simple de l'application de la différenciation des signaux expérimentaux est montré dans la figure ci-dessous. Ce signal est typique du type de signal enregistré dans les titrages ampérométriques et certains types d'analyses thermiques et d'expériences cinétiques : une série de segments de ligne droite de pente différente. L'objectif est de déterminer combien il y a de segments, où tombent les ruptures entre eux et les pentes de chaque segment. C'est difficile à faire à partir des données brutes, car les différences de pente sont faibles et la résolution de l'affichage de l'écran de l'ordinateur est limitée. La tâche est beaucoup plus simple si la dérivée première (pente) du signal est calculée (en bas à droite). Chaque segment est maintenant clairement vu comme une étape distincte dont la hauteur (valeur de l'axe y) est la pente. L'axe des y prend maintenant les unités de dy/dx. Notez que dans cet exemple, les étapes du signal dérivé ne sont pas complètement plates, ce qui indique que les segments de ligne du signal d'origine n'étaient pas parfaitement droits. Ceci est probablement dû à un bruit aléatoire dans le signal d'origine. Bien que ce bruit n'était pas particulièrement évident dans le signal d'origine, il est plus perceptible dans le signal dérivé.


Le signal de gauche semble être une ligne plus ou moins droite, mais son calcul numérique dérivé (dx/dy), tracé à droite, montre que la ligne a en réalité plusieurs segments approximativement rectilignes avec des pentes nettement différentes et avec des ruptures bien définies entre chaque segment.

Il est communément observé que la différenciation dégrade le rapport signal sur bruit, à moins que l'algorithme de différenciation n'inclue un lissage soigneusement optimisé pour chaque application. Les algorithmes numériques pour la différenciation sont aussi nombreux que pour le lissage et doivent être choisis avec soin pour contrôler la dégradation signal/bruit.

Une utilisation classique de la seconde différenciation dans l'analyse chimique est la localisation des points finaux dans le titrage potentiométrique. Dans la plupart des titrages, la courbe de titrage a une forme sigmoïde et le point final est indiqué par le point d'inflexion, le point où la pente est maximale et la courbure est nulle. La dérivée première de la courbe de titrage présentera donc une maximum au point d'inflexion, et la dérivée seconde présentera un passage à zéro à ce moment. Les maxima et les passages à zéro sont généralement beaucoup plus faciles à localiser avec précision que les points d'inflexion.


Le signal de gauche est la courbe de titrage du pH d'un acide très faible avec une base forte, avec un volume en mL en abscisse et un pH en ordonnée. Le point final est le point de plus grande pente c'est aussi un point d'inflexion, où la courbure du signal est nulle. Avec un acide faible comme celui-ci, il est difficile de localiser précisément ce point à partir de la courbe de titrage d'origine. Le point final est beaucoup plus facile à localiser dans le dérivée seconde, représenté à droite, comme le passage à zéro.

La figure ci-dessus montre une courbe de titrage du pH d'un acide très faible avec une base forte, avec un volume en ml en abscisse et un pH en ordonnée. Le point d'équivalence volumétrique (le point final "théorique") est de 20 mL. Le point final est le point de plus grande pente c'est aussi un point d'inflexion, où la courbure du signal est nulle. Avec un acide faible comme celui-ci, il est difficile de localiser précisément ce point à partir de la courbe de titrage d'origine. La dérivée seconde de la courbe est affichée dans la fenêtre 2 à droite. Le passage par zéro de la dérivée seconde correspond au point final et est beaucoup plus précisément mesurable. Notez que dans le tracé de la dérivée seconde, les échelles de l'axe des x et de l'axe des y ont été agrandies pour montrer plus clairement le point de passage par zéro. Les lignes pointillées montrent que le passage à zéro tombe à environ 19,4 ml, proche de la valeur théorique de 20 ml.

Les dérivés peuvent également être utilisés comme un moyen simple de détecter une asymétrie inattendue dans des pics par ailleurs symétriques. Par exemple, un pic gaussien pur est symétrique mais, s'il est soumis à un élargissement exponentiel, peut devenir asymétrique. Si le degré d'élargissement est faible, il peut être difficile à détecter visuellement, c'est là que la différenciation peut aider. DerivativeEMGDemo.m (graphique) montre les dérivées 1 à 5 d'une gaussienne légèrement élargie (EMG) de ces dérivés, la seconde montre clairement pics positifs inégaux on s'attendrait à ce qu'elle soit égale pour un pic purement symétrique. Les dérivées plus élevées n'offrent aucun avantage clair et sont plus sensibles au bruit blanc dans le signal. Pour un autre exemple, si un pic gaussien est fortement recouvert par un pic plus petit, le résultat est généralement asymétrique. Le script DerivativePeakOverlapDemo (graphique) montre les dérivées 1 à 5 de deux gaussiennes qui se chevauchent où le deuxième pic est si petit et si proche qu'il est impossible de le discerner visuellement, mais encore une fois, la dérivée seconde montre clairement l'asymétrie en comparant les hauteurs des deux positifs pics. DerivativePeakOverlap.md détecte l'étendue minimale du chevauchement des pics par les dérivées première et seconde, en recherchant le point auquel deux pics sont visibles pour chaque séparation d'essai, il imprime la séparation, la résolution et le nombre de pics détectés dans la première et dérivées secondes.

Une autre utilisation courante de la différenciation est la détection de pics dans un signal. Il ressort clairement des propriétés de base décrites dans la section précédente que la dérivée première d'un pic a un passage par zéro descendant au maximum du pic, qui peut être utilisé pour localiser la valeur x du pic, comme indiqué à droite (scénario). S'il y a pas de bruit dans le signal, alors tout point de données qui a des valeurs inférieures des deux côtés sera un maximum de crête. Mais il y a toujours au moins un peu de bruit dans les signaux expérimentaux réels, et cela provoquera de nombreux faux passages par zéro simplement à cause du bruit. Pour éviter ce problème, une technique courante lisse d'abord la dérivée première du signal, avant de rechercher les passages par zéro descendants, puis ne prend que les passages par zéro dont la pente dépasse un certain minimum prédéterminé (appelé "seuil de pente") à un point où l'amplitude du signal d'origine dépasse un certain minimum (appelé "seuil d'amplitude"). En ajustant soigneusement la largeur de lissage, le seuil de pente et le seuil d'amplitude, il est possible de détecter uniquement les pics souhaités sur une large gamme de largeurs de pic et d'ignorer les pics trop petits, trop larges ou trop étroits. De plus, comme le lissage peut déformer les signaux de pic, réduire les hauteurs de pic et augmenter les largeurs de pic, cette technique peut être étendue pour mesurer la position, la hauteur et la largeur de chaque pic par l'ajustement de courbe par les moindres carrés d'un segment de signal non lissé d'origine. près du sommet du pic (où le rapport signal sur bruit est généralement le meilleur). Ainsi, même si un lissage important est nécessaire pour fournir une discrimination fiable contre les pics de bruit, les paramètres de pic extraits par ajustement de courbe ne sont pas déformés et l'effet du bruit aléatoire dans le signal est réduit par ajustement de courbe sur plusieurs points de données dans le pic. Cette technique a été implémentée dans Matlab/Octave et dans des tableurs.

Spectroscopie dérivée

En spectroscopie, la différenciation des spectres est une technique largement utilisée, en particulier en spectrophotométrie d'absorption infrarouge, u.v.-visible, de fluorescence et de réflectance, appelée spectroscopie dérivée. Les méthodes dérivées ont été utilisées en spectroscopie analytique pour trois objectifs principaux :

(une) discrimination spectrale, en tant que technique d'empreinte qualitative pour accentuer les petites différences structurelles entre des spectres presque identiques
(b) amélioration de la résolution spectrale, en tant que technique permettant d'augmenter la résolution apparente des bandes spectrales qui se chevauchent afin de déterminer plus facilement le nombre de bandes et leurs longueurs d'onde
(c) l'analyse quantitative, en tant que technique de correction de l'absorption de fond non pertinente et en tant que moyen de faciliter l'analyse à plusieurs composants. (Parce que la différenciation est une technique linéaire, l'amplitude d'une dérivée est proportionnelle à l'amplitude du signal d'origine, ce qui permet des applications d'analyse quantitative employant l'une des techniques d'étalonnage standard). La plupart des spectrophotomètres commerciaux ont maintenant une capacité dérivée intégrée. Certains instruments sont conçus pour mesurer les dérivées spectrales optiquement, au moyen de conceptions à double longueur d'onde ou à modulation de longueur d'onde.

En raison du fait que l'amplitude du n e la dérivée d'un signal en forme de pic est inversement proportionnelle au n e puissance de la largeur du pic, la différenciation peut être utilisée comme moyen général de discriminer les caractéristiques spectrales larges en faveur des composants étroits. C'est la base de l'application de la différenciation comme méthode de correction des signaux de fond dans l'analyse spectrophotométrique quantitative. Très souvent dans les applications pratiques de la spectrophotométrie à l'analyse d'échantillons complexes, les bandes spectrales de l'analyte (c'est-à-dire le composé à mesurer) sont superposées sur un large fond progressivement incurvé. L'arrière-plan de ce type peut être réduit par différenciation.

Réduction de l'effet de fond par différenciation. Cliquez pour agrandir

Ceci est illustré par la figure ci-dessus, qui montre un spectre UV simulé (absorbance vs longueur d'onde en nm), avec la courbe verte représentant le spectre de l'analyte pur et la ligne rouge représentant le spectre d'un mélange contenant l'analyte plus d'autres composés qui donner lieu à la grande absorption de fond en pente. Les premières dérivées de ces deux signaux sont affichées au centre, vous pouvez voir que la différence entre le spectre de l'analyte pur (vert) et le spectre du mélange (rouge) est réduite. Cet effet est considérablement renforcé dans la dérivée seconde, représentée à droite. Dans ce cas, les spectres de l'analyte pur et du mélange sont presque identiques. Pour que cette technique fonctionne, il est nécessaire que l'absorption de fond soit plus large (c'est-à-dire qu'elle ait une courbure plus faible) que le pic spectral de l'analyte, mais cela s'avère être une situation assez courante. En raison de leur plus grande discrimination dans un contexte général, les dérivés de second ordre (et parfois même d'ordre supérieur) sont souvent utilisés à de telles fins. Voir DerivativeDemo.m pour une démonstration Matlab/Octave de cette application.

On dit parfois (à tort) que la différenciation « augmente la sensibilité » de l'analyse. Vous pouvez voir à quel point il serait tentant de dire quelque chose comme ça en inspectant les trois chiffres ci-dessus, il semble que l'amplitude du signal des dérivées soit supérieure à celle du signal d'analyte d'origine (au moins graphiquement). Cependant, il n'est pas valable de comparer les amplitudes des signaux et leurs dérivées car elles avoir des unités différentes. Les unités du spectre d'origine sont l'absorbance, les unités de la dérivée première sont l'absorbance par nm et les unités de la dérivée seconde sont l'absorbance par nm 2 . Vous ne pouvez pas plus comparer l'absorbance à l'absorbance par nm que vous ne pouvez comparer les miles aux miles par heure. (Cela n'a aucun sens, par exemple, de dire qu'une vitesse de 30 milles à l'heure est supérieure à une distance de 20 milles.) Vous pouvez, cependant, comparez les rapport signal sur fond et le rapport signal sur bruit. Par exemple, dans l'exemple ci-dessus, il serait valable de dire que le rapport signal sur fond est augmenté dans les dérivées.

En gros, le contraire de la différenciation est l'intégration, donc si on vous donne une dérivée première d'un signal, vous pouvez vous attendre à régénérer l'original (dérivée zéro) par intégration. Cependant, il y a un hic le terme constant dans le signal d'origine (comme une ligne de base plate) est complètement perdu dans l'intégration de différenciation ne peut pas le restaurer. Donc, à proprement parler, la différenciation représente une perte nette d'informations, et donc la différenciation n'est utilisée que dans des situations où le terme constant dans le signal d'origine n'a pas d'intérêt.

Il existe plusieurs façons de mesurer l'amplitude d'un spectre dérivé pour une analyse quantitative : la valeur absolue de la dérivée à une longueur d'onde spécifique, la valeur d'une caractéristique spécifique (comme un maximum) ou la différence entre un maximum et un minimum. Une autre technique largement utilisée est la mesure du passage par zéro - en prenant des lectures d'amplitude dérivée à la longueur d'onde où un pic d'interférence croise le zéro sur l'axe y (amplitude). Dans tous ces cas, il est important de mesurer les étalons et les échantillons inconnus exactement de la même manière. De plus, étant donné que l'amplitude d'une dérivée d'un pic dépend fortement de sa largeur, il est important de contrôler les facteurs environnementaux susceptibles de modifier la subtilité de la largeur du pic spectral, comme la température.

L'une des utilisations les plus larges de la technique de traitement du signal dérivé dans le travail analytique pratique est la mesure de petites quantités de substances en présence de grandes quantités de matériaux potentiellement interférents. Dans de telles applications, il est courant que les signaux analytiques soient faibles, bruyants et superposés à de grands signaux de fond. La précision de la mesure est souvent dégradée par les décalages de la ligne de base d'un échantillon à l'autre en raison d'une absorption interférente à large bande non spécifique, d'un positionnement de cuvette non reproductible (cellule d'échantillon), de saletés ou d'empreintes digitales sur les parois de la cuvette, d'une correspondance de transmission de cuvette imparfaite et de la turbidité de la solution. Les décalages de la ligne de base de ces sources sont généralement soit indépendants de la longueur d'onde (blocage de la lumière causé par des bulles ou de grosses particules en suspension) soit présentent une faible dépendance à la longueur d'onde (turbidité des petites particules). Par conséquent, on peut s'attendre à ce que la différenciation aide en général à discriminer l'absorption pertinente de ces sources de changement de base. Un avantage évident de la suppression de l'arrière-plan large par différenciation est que variantes dans le bruit de fond, l'amplitude d'un échantillon à l'autre est également réduite. Cela peut entraîner une précision ou une mesure améliorée dans de nombreux cas, en particulier lorsque le signal d'analyte est faible par rapport au bruit de fond et s'il y a beaucoup de variabilité incontrôlée dans le bruit de fond. Un exemple de la capacité améliorée de détecter un composant de trace en présence d'une forte interférence de fond est illustré dans cette figure :

Le spectre de gauche montre un épaulement faible près du centre en raison d'une faible concentration de la substance à mesurer (par exemple, l'ingrédient actif dans une préparation pharmaceutique). Il est difficile de mesurer l'intensité de ce pic car il est masqué par le fort bruit de fond causé par d'autres substances dans l'échantillon. le dérivée quatrième de ce spectre est représenté à droite. Le bruit de fond a été presque complètement supprimé et le pic de l'analyte ressort clairement, ce qui facilite la mesure.

Le spectre de gauche montre un épaulement faible près du centre en raison de l'analyte. Le rapport signal sur bruit est très bon dans ce spectre, mais malgré cela le fond large et en pente obscurcit le pic et rend la mesure quantitative très difficile. La dérivée quatrième de ce spectre est représentée à droite. Le bruit de fond a été presque complètement supprimé et le pic de l'analyte ressort clairement, ce qui facilite la mesure. Un cas encore plus dramatique est présenté ci-dessous. C'est essentiellement le même spectre que dans la figure ci-dessus, sauf que la concentration de l'analyte est dix fois plus faible. La question est : y a-t-il une quantité détectable d'analyte dans ce spectre ? C'est tout à fait impossible à dire à partir du spectre normal, mais l'inspection de la dérivée quatrième (à droite) montre que la réponse est Oui. Un certain bruit est clairement évident ici, mais néanmoins le rapport signal sur bruit est suffisamment bon pour une mesure quantitative raisonnable.


Semblable à la figure précédente, mais dans le cas où le pic est dix fois plus faible - si faible qu'il ne peut même pas être vu dans le spectre de gauche. La dérivée quatrième (à droite) montre qu'un pic est toujours là, mais que son amplitude est très réduite (notez la plus petite échelle de l'axe des y).

Cette utilisation de la différenciation des signaux est devenue largement utilisée en spectroscopie quantitative, en particulier pour le contrôle qualité dans l'industrie pharmaceutique. Dans cette application, l'analyte serait typiquement l'ingrédient actif dans une préparation pharmaceutique et les interférences de fond pourraient provenir de la présence de charges, d'émulsifiants, d'agents aromatisants ou colorants, de tampons, de stabilisants ou d'autres excipients. Bien entendu, dans les applications d'analyse de traces, il faut veiller à optimiser au maximum le rapport signal/bruit de l'instrument.

Bien qu'il soit finalement démontré que des techniques plus avancées telles que l'ajustement de courbes peuvent également très bien effectuer bon nombre de ces tâches de mesure quantitative, les techniques dérivées ont l'avantage d'une simplicité conceptuelle et mathématique et d'une manière graphique facile à comprendre de présenter les données.

Dérivés et bruit : l'importance du lissage

On dit souvent que "la différenciation augmente le bruit". C'est vrai, mais ce n'est pas le problème principal. En fait, le calcul de la dérivée première non lissée d'un ensemble de nombres aléatoires n'augmente son écart type que de la racine carrée de 2 , simplement en raison de la propagation habituelle des erreurs de la somme ou de la différence entre deux nombres. A titre d'exemple, l'écart type (std) des nombres générés par la fonction Matlab/Octave randn() est 1.0 et sa première dérivée std(deriv1(randn(taille (1:10000))))) équivaut à environ 1,4. Mais même un peu de lissage appliqué à la dérivée réduira considérablement cet écart type, par ex. std(rapide(dérivé1(randn(taille (1:10000))),2,3)) équivaut à environ 0,4. Plus important est le fait que le rapport signal sur bruit d'un non lissé dérivée est presque toujours beaucoup plus faible (plus pauvre) que celle du signal d'origine, principalement parce que l'amplitude numérique de la dérivée est généralement beaucoup plus petite (comme vous pouvez le constater par vous-même dans tous les exemples sur cette page) . Mais le lissage est toujours utilisé dans toute application pratique pour contrôler ce problème avec optimale lissage, le rapport signal/bruit d'une dérivée peut en fait être plus grand que l'original non lissé.Pour une application réussie de la différenciation dans les applications analytiques quantitatives, il est essentiel d'utiliser la différenciation en combinaison avec un lissage suffisant, afin d'optimiser le rapport signal sur bruit. Ceci est illustré sur la figure de gauche. (Code Matlab/Octave pour cette figure.) La fenêtre 1 montre une bande gaussienne avec une petite quantité de bruit blanc ajouté. Les fenêtres 2, 3 et 4 affichent la dérivée première de ce signal avec des largeurs lisses croissantes. Comme tu peux le voir, sans lissage suffisant, le rapport signal/bruit de la dérivée peut être sensiblement plus faible que le signal d'origine. Cependant, avec des quantités adéquates de lissage, le rapport signal/bruit de la dérivée lissée peut être meilleur que celui de l'original non lissé. Cet effet est encore plus frappant dans la dérivée seconde, comme illustré à droite (code Matlab/Octave pour cette figure). Dans ce cas, le rapport signal/bruit de la dérivée seconde non lissée (Fenêtre 2) est si faible que vous ne pouvez même pas voir le signal visuellement, mais la dérivée seconde lissée semble correcte. La différenciation n'ajoute pas réellement de bruit au signal s'il n'y avait aucun bruit dans le signal d'origine, alors les dérivés n'auraient pas non plus de bruit (exception : voir l'annexe V).

Ce qui est particulièrement intéressant à propos du bruit dans ces signaux dérivés, cependant, c'est leur "couleur". Ce bruit n'est pas blanc c'est plutôt bleu - c'est-à-dire qu'il a beaucoup plus de puissance à hautes fréquences que le bruit blanc. La conséquence de ceci est que le bruit dans le signal différencié est facilement réduit considérablement par lissage, comme démontré ci-dessus.

Peu importe que le bon fonctionnement soit appliqué avant ou après la différenciation. Ce qui est important, cependant, c'est la nature du lissage, son rapport de lissage (rapport de la largeur de lissage à la largeur du pic d'origine) et le nombre de fois où le signal est lissé. Les valeurs optimales du rapport de lissage pour les signaux dérivés sont d'environ 0,5 à 1,0. Pour une dérivée première, deux des applications d'un simple lissage rectangulaire (ou une application d'un lissage triangulaire) sont suffisantes. Pour une dérivée seconde, Trois des applications d'un simple lissage rectangulaire ou deux applications d'un lissage triangulaire suffisent. La règle générale est : pour le n e dérivée, utilisez au moins n+1 applications d'un rectangle lisse. (Le programme de traitement du signal Matlab iSignal fournit automatiquement le type de lissage souhaité pour chaque ordre dérivé).

Une comparaison quantitative du lissage des dérivées est effectuée par le script MultiPeakDerivativeOptimization.m, qui analyse les dérivées secondes des pics gaussiens lissés par les types de lissage moyenne mobile, triangulaire, gaussien et Suavity-Golay (graphique).

Si les largeurs de pic varient considérablement à travers l'enregistrement du signal - par exemple, si les pics s'élargissent régulièrement à mesure que la valeur x augmente - alors il peut être utile d'utiliser un lissage segmenté adaptatif, qui fait varier la largeur lisse à travers le signal.

Le lissage des signaux dérivés entraîne généralement une atténuation substantielle de l'amplitude de la dérivée dans la figure de droite ci-dessus, l'amplitude de la dérivée la plus fortement lissée (dans la fenêtre 4) est bien inférieure à celle de sa version moins lissée (fenêtre 3). Cependant, ce ne sera pas un problème dans analyse quantitative applications, tant que la courbe standard (analytique) est préparée en utilisant exactement la même procédure de dérivée, de lissage et de mesure que celle appliquée aux échantillons inconnus. Étant donné que la différenciation et le lissage sont tous deux des techniques linéaires, l'amplitude d'une dérivée lissée est exactement proportionnelle à l'amplitude du signal d'origine, ce qui permet des applications d'analyse quantitative utilisant l'une des techniques d'étalonnage standard. Tant que vous appliquez les mêmes techniques de traitement du signal aux standards ainsi qu'aux échantillons, tout fonctionne.

En raison des différents types et degrés de lissage pouvant être incorporés dans le calcul de la différenciation numérique des signaux expérimentaux, il est difficile de comparer les résultats de différents instruments et expériences à moins que les détails de ces calculs ne soient connus. Dans les instruments commerciaux et les progiciels, ces détails peuvent très bien être cachés. Cependant, si vous pouvez obtenir à la fois le signal d'origine (dérivée zéro), ainsi que la version dérivée et/ou lissée à partir du même instrument ou logiciel, alors la technique de déconvolution de Fourier, qui sera discutée plus loin, peut être utilisée pour découvrir et dupliquer les calculs cachés sous-jacents.

Fait intéressant, négliger de lisser un dérivé a finalement été responsable de l'échec du premier vaisseau spatial du programme Mariner de la NASA le 22 juillet 1962, qui a été signalé dans les "11 bogues logiciels infâmes" d'InfoWorld. Dans son livre de 1968 "La promesse de l'espace", Arthur C. Clarke a décrit la mission comme "détruite par le trait d'union le plus cher de l'histoire". Le "trait d'union" était en fait une barre en exposant sur le symbole de la vitesse (la première dérivée de la position), écrite à la main dans un cahier. Une barre supérieure signifie conventionnellement un faire la moyenne ou alors lissage fonction, donc la formule devrait ont calculé le lissé valeur de la dérivée temporelle de la position. Sans la fonction de lissage, même des variations mineures rendraient sa dérivée très bruyante et déclencheraient prématurément les boosters correctifs, rendant le vol de la fusée instable.

La première vidéo de 13 secondes et 1,5 Mo (SmoothDerivative2.wmv ) démontre les énormes améliorations du rapport signal/bruit qui sont possibles lors du lissage des signaux dérivés, dans ce cas une 4ème dérivée.

La deuxième vidéo, 17 secondes, 1,1 Mo, (DerivativeBackground2.wmv ) montre la mesure d'un pic faible enfoui dans un fond fortement incliné. Au début de cette brève vidéo, l'amplitude (Amp) du pic varie entre 0 et 0,14, mais le fond est si fort que le pic, situé à x = 500, est à peine visible. Ensuite, la dérivée 4 (Order=4) est calculée et l'expansion d'échelle (Scale) est augmentée, avec une largeur lisse (Smooth) de 88. Enfin, l'amplitude (Amp) du pic est à nouveau variée sur la même plage, mais maintenant les changements dans le signal sont maintenant tout à fait perceptibles et facilement mesurables. (Ces démonstrations ont été créées dans Matlab 6.5. Si vous avez accès à ce logiciel, vous pouvez télécharger un ensemble de fichiers m Matlab Interactive Derivative (15 Ko), InteractiveDerivative.zip afin que vous puissiez expérimenter les variables à volonté et essayer cette technique sur vos propres signaux).

La différenciation de analogiquesignaux peut être réalisé avec un simple circuit amplificateur opérationnel. Deux ou plusieurs de ces circuits peuvent être montés en cascade pour obtenir des dérivées du second ordre et d'ordre supérieur. Les mêmes problèmes de bruit décrits ci-dessus s'appliquent également à la différenciation analogique, nécessitant l'utilisation de circuits de filtrage passe-bas qui sont analogues au lissage.

SPECTRUM, l'application gratuite de traitement du signal pour Macintosh OS8, comprend des fonctions de dérivée première et seconde, qui peuvent être appliquées successivement pour calculer des dérivées de n'importe quel ordre.

Différenciation dans les feuilles de calcul

Les opérations de différenciation telles que décrites ci-dessus peuvent être facilement effectuées dans des feuilles de calcul telles qu'Excel ou OpenOffice Calc. La dérivée et les opérations de lissage requises peuvent être effectuées par la méthode de décalage et de multiplication décrite dans la section sur le lissage. En principe, il est possible de combiner n'importe quel degré de différenciation et de lissage en un seul ensemble de coefficients de décalage et de multiplication (comme illustré ici), mais il est plus flexible et plus facile à ajuster si vous calculez les dérivées et chaque étape de lissage séparément dans colonnes successives. Ceci est illustré par DerivativeSmoothing.ods pour OpenOffice Calc et DerivativeSmoothing.xls pour Excel (image écran), qui lisse les données et calcule la dérivée première de Y (colonne B) par rapport à X (colonne UNE) , puis applique successivement ce processus de lissage et de différenciation pour calculer les dérivées seconde et troisième lissées. Les mêmes coefficients de lissage (en ligne 5, Colonnes K à travers AA) sont appliqués successivement pour chaque étape de différenciation, vous pouvez entrer n'importe quel ensemble de nombres ici (de préférence symétrique par rapport au nombre central dans la colonne S). Vous pouvez taper ou coller vos propres données dans la colonne UNE et B (X et Y), lignes 8 à 263.

DerivativeSmoothingWithNoise.xlsx (graphique) démontre l'effet dramatique du lissage sur le rapport signal/bruit des dérivés sur un signal bruyant. Il utilise le même signal que DerivativeSmoothing.xls, mais ajoute un bruit blanc simulé aux données Y. Vous pouvez contrôler la quantité de bruit ajouté (cellule D5).

Un autre exemple d'application dérivée est la feuille de calcul SecondDerivativeXY2.xlsx (graphique), qui démontre la localisation et la mesure des changements dans la dérivée seconde (une mesure de courbure ou d'accélération) d'un signal qui change dans le temps. Cette feuille de calcul montre l'augmentation apparente du bruit causée par la différenciation et la mesure dans laquelle le bruit peut être réduit par lissage (dans ce cas par deux passages d'un lissage triangulaire à 5 points). La dérivée seconde lissée montre un grand pic au point auquel l'accélération change (à x=30) et des plateaux de chaque côté montrant l'amplitude de l'accélération avant et après le changement (y=2 et 4, respectivement).

Différenciation sous Matlab et Octave

Détection de pic. Le code le plus simple pour trouver des pics dans x, y les ensembles de données recherchent simplement chaque oui valeur inférieure oui valeurs des deux côtés (allpeaks.m). Une approche alternative consiste à utiliser la dérivée première pour trouver tous les maxima en localisant les points de passage par zéro, c'est-à-dire les points auxquels la dérivée première "d" (calculée par derivxy.m) passe de positive à négative. Dans cet exemple, la fonction « signe » est une fonction intégrée qui renvoie 1 si l'élément est supérieur à zéro, 0 s'il est égal à zéro et -1 s'il est inférieur à zéro. La routine imprime la valeur de x et y à chaque passage par zéro :

Si les données sont bruyantes, de nombreux faux passages à zéro seront signalés, le lissage des données réduira cela. Si les données sont peu échantillonnées, une valeur plus précise pour la position du pic (valeur de l'axe des x au passage par zéro) peut être obtenue en interpolant entre le point avant et le point après le passage par zéro à l'aide de Matlab/Octave « interp1 ». une fonction: interp1([d(j) d(j+1)],[x(j) x(j+1)],0)

ProcessSignal.m, une fonction de ligne de commande Matlab/Octave qui effectue le lissage et la différenciation sur l'ensemble de données de séries temporelles x,y (vecteurs de colonne ou de ligne). Tapez "aide ProcessSignal". Renvoie le signal traité sous forme de vecteur ayant la même forme que x, quelle que soit la forme de y. La syntaxe est Processed=ProcessSignal(x, y, DerivativeMode, w, type, ends, Sharpen, factor1, factor2, SlewRate, MedianWidth)


DérivéeDemo.m (illustré ci-dessus) est une fonction de démonstration Matlab/Octave autonome qui utilise ProcessSignal.m et plotit.m pour démontrer une application de différenciation à l'analyse quantitative d'un pic enfoui dans un arrière-plan instable (comme dans diverses formes de spectroscopie) . L'objectif est de dériver une mesure de l'amplitude de crête qui varie linéairement avec l'amplitude de crête réelle et est très peu affectée par le fond et le bruit. Pour l'exécuter, tapez simplement DerivativeDemo à l'invite de commande. Vous pouvez modifier plusieurs variables internes (par exemple, Noise, BackgroundAmplitude) pour rendre le problème plus difficile ou plus facile. Notez que, malgré le fait que le ordre de grandeur de la dérivée semble être numériquement plus petit que le signal d'origine (car il a des unités différentes), le rapport signal sur bruit de la dérivée est mieux et est beaucoup moins affectée par l'instabilité de fond. (Temps d'exécution : 0,065 seconde en Matlab 2,2 secondes en Octave).

iSignal (illustré ci-dessus) est une fonction interactive de traitement du signal polyvalente pour Matlab qui inclut la différenciation et le lissage des signaux de séries chronologiques, jusqu'à la dérivée 5, incluant automatiquement le type de lissage requis. Des frappes simples vous permettent d'ajuster les paramètres de lissage (type de lissage, largeur et traitement des extrémités) tout en observant l'effet sur votre signal de manière dynamique. Dans l'exemple ci-dessus, une série de trois pics à x = 100, 250 et 400, avec des hauteurs dans le rapport 1:2:3, sont enfouis dans un fort fond incurvé, les deuxième et quatrième dérivées lissées sont calculées pour supprimer cela Contexte. Consultez le code ici ou téléchargez le fichier ZIP avec des exemples de données à tester. (La version 2 d'iSignal, novembre 2011, calcule les dérivées par rapport au vecteur de l'axe des x, en corrigeant les intervalles de l'axe des x non uniformes). Malheureusement, iSignal ne fonctionne pas actuellement dans Octave.

Ces instructions génèrent la dérivée 4 d'un pic gaussien et l'affichent dans iSignal. Vous devrez télécharger isignal.m, gaussian.m et deriv4.m.

Le signal est principalement du bruit bleu (à cause du bruit blanc différencié) à moins que vous ne le lissiez soigneusement. Utilisez le UNE et Z touches pour augmenter et diminuer la largeur lisse et la S pour faire défiler les types de lissage disponibles. Astuce : utilisez le lissage gaussien et continuez à augmenter la largeur du lissage.

Le script « iSignalDeltaTest » démontre la réponse en fréquence des fonctions de lissage et de différenciation d'iSignal en les appliquant à une fonction delta. Modifiez le type de lissage, la largeur de lissage et l'ordre dérivé et voyez comment le spectre de puissance change.

Temps réel la différenciation dans Matlab est discutée dans l'annexe Y .


Quoi de neuf ?

Ce qui suit résume les nouvelles fonctionnalités et améliorations de cette version.

Qu'est-ce que la nouvelle édition Bentley OpenRail Designer CONNECT

    Possibilité d'apporter des modifications graphiques au dévers dans la boîte de dialogue Éditeur de dévers. Le diagramme de courbure montre les noms et les symboles des points. Une possibilité de synchroniser la vue du diagramme de courbe avec la vue en plan a également été ajoutée. Affichage de la ligne de balayage. Copiez la verticale à partir de la piste parallèle. Support de dévers négatif amélioré, élévation du rail intérieur pour le calcul. L'analyse du chemin balayé permet désormais l'utilisation de modèles du fichier ITL.

Mise à jour 3 de l'édition OpenRail Designer CONNECT

Améliorations de l'aperçu technologique

Mise à jour 2 de l'édition OpenRail Designer CONNECT

    Régression, Affichage dynamique des valeurs de balayage. Régression, annotation Slew. Aiguillage, annotation de point. Participation, rapports. Tableau de vitesse, tableau d'importation. Tableau de vitesse, tableau de copie/projet. Tableau de vitesse, affichage de qualité. Créer une pente conique (Aperçu technologique).

Mise à jour 1 de l'édition OpenRail Designer CONNECT

    Améliorations du gabarit Éléments circulaires Définitions de congé dans le composant Création de vides Importation de gabarit à partir de graphiques Définitions de parabole cubique supplémentaires Propriétés d'aiguillage Annotation d'aiguillage Objet rail dans l'explorateur de projet Calcul amélioré du dévers Affichage du dévers existant sur le diagramme de courbure Affichage du dévers existant sur le diagramme de dévers Améliorations des performances de placement des rails Améliorations du placement des traverses

Version initiale de l'édition OpenRail Designer CONNECT

    Trier la régression horizontale Régression horizontale simple Régression horizontale rapide Régression verticale simple Régression verticale rapide Diagramme de courbure Afficher le diagramme de courbure verticale Spirale complexe entre Convertir des rails en ligne centrale Créer un profil de ligne de régression Créer un profil à partir de rails Rapport de régression horizontale Rapport de régression verticale Tableau de vitesse Créer un dévers Modifier un rapport dévers Placer l'aiguillage Placer le croisement Placer le croisement Créer des rails Créer des traverses

Qu'est-ce que la nouvelle édition CONNECT de Bentley OpenRoads Designer

Ce qui suit résume les nouvelles fonctionnalités et améliorations de cette version 2019 1.

    Mise à jour de Power Platform vers l'édition (V10.12.0.41). La version MicroStation Update 12 CONNECT Edition correspondante est (V10.012.00.40). La licence CONNECT est utilisée. Pour plus d'informations : Licence CONNECT. Comprend la mise à jour 12 de l'édition CONNECT de Bentley LumenRT Designer. Comprend la mise à jour 2 de l'édition CONNECT de Bentley Descartes (V10.010.00.41). Mise à jour de gINT Civil Tools CONNECT Edition Update 1 (V10.03.01.08). Prise en charge de l'édition suivante de ProjectWise Connect (V10.0.03.167). Des outils de mise en page de site ont été ajoutés pour générer rapidement des conceptions de site conceptuelles et permettre de passer directement à des outils de conception entièrement détaillés. Ajout d'icônes Explorateur, Référence et Propriétés sur le bord gauche de la plupart des onglets du flux de travail du ruban de modélisation. Les DGN avec des modèles civils sont marqués avec le produit de création, c'est ce qu'on appelle l'alignement de produit. Le DGN est soit OpenRoads, OpenRail ou en plus OpenSite. Pour plus d'informations, veuillez consulter : Alignement des produits.
    Nouvel outil Profil simple par PI qui prend en charge la création d'un profil ayant la même élévation pour les points de début et de fin sur la géométrie fermée. Possibilité d'ajouter ou de modifier l'élévation et la rotation des points de géométrie existants. XML rapporte les noms des points de géométrie sur lesquels la géométrie horizontale est réglée. Livraison des normes de conception AASHTO 2018.
    L'importation de terrain à partir d'un fichier DTM a été corrigée pour respecter les coordonnées définies dans le DTM. L'aquaplaning permet désormais d'afficher les profondeurs du film d'eau avec des couleurs pour déterminer l'acceptabilité des conditions. La feuille de style Aquaplaning Report a plusieurs améliorations, y compris un xsl par défaut et l'affichage des valeurs en millimètres au lieu de mètres.
    Le rapport d'entrée de conception du projet 3D indique désormais les informations de base du projet 3D. Les outils de découpage de couloir réparent désormais les embouts des maillages résultants du découpage. Le découpage de couloir permet des clips à partir d'un maillage 3D. Seul le découpage où le maillage de découpage existe dans l'espace tridimensionnel. Les composants de modèles ont désormais 3 types de vide : Aucun, Maillage et Tunnel. Si le type de tunnel est utilisé dans un couloir, le découpage du couloir permettra de choisir le mur intérieur ou extérieur à découper pour faciliter la modélisation et la conception du tunnel. Les volumes de remblai coupé prennent désormais en compte les types de substrats et de volumes personnalisés dans l'analyse des travaux de terrassement. Importer un modèle à partir de graphiques permet désormais de contraindre tous les points à l'origine du modèle. Possibilité de sélectionner les valeurs e et l lors de la création de sections de dévers à partir de Corridor. Livraison des tables de surélévation AASHTO 2018 et des tables de distance de vue.

Améliorations de la production de dessins et de l'annotation

    Annotation des calculs d'aire d'extrémité sur les feuilles de coupe transversale. Les étiquettes de décalage autorisent désormais le préfixe/suffixe en fonction de la gauche ou de la droite de la géométrie de définition. La limite nommée par élément permet plusieurs choix, ensembles de sélection. Name Boundary by Element permet une réinitialisation pour ignorer la sélection de la géométrie horizontale. Cela aide à recouvrir les sites ou à créer des limites de nom pour les besoins de terrassement.

Améliorations de l'hydraulique et de l'hydrologie

Cette version utilise OpenFlows SewerGEMS version 10.02.00.55. Pour plus de détails sur les nouveautés de cette version :

Améliorations des services publics souterrains

    La délimitation du bassin versant est désormais disponible lors de la mise en place et du déplacement des bassins collecteurs. L'outil Placer une zone de drainage a été divisé en trois : Placer un bassin versant, Placer un étang et Placer un développement à faible impact. Chaque outil vous demande maintenant les éléments d'entrée et de sortie corrects, le cas échéant.L'outil Placer un étang comprend une option " A partir du modèle de terrain ", qui crée automatiquement une collection d'altitude/surface en analysant le modèle de terrain sélectionné. Cette collection est automatiquement mise à jour si le modèle de terrain change. La possibilité de créer des courbes de précipitations sans dimension à partir d'un fichier CSV a été ajoutée, principalement pour lire les données de modèle temporel à partir du hub australien de données de précipitations et de ruissellement. Les données de station de base/de décalage sont maintenant écrites dans la base de données d'analyse hydraulique, ainsi que dans la base de données Subsurface Utilities, pour vous aider à créer des FlexTables qui ont besoin de ces informations. Plusieurs améliorations ont été apportées pour aider à accélérer certains processus :
      Le code est désormais plus efficace lors de la mise à jour d'un scénario. Certaines duplications de manipulateurs ont été supprimées. L'écriture dans le Civil Message Center lors d'une exécution par lots de scénarios est désormais plus rapide.
    Un problème qui pouvait entraîner l'installation trop profonde des conduites pluviales et sanitaires a été résolu. Auparavant, le code convertissait de manière incorrecte les unités pour la valeur de la profondeur de couverture. Désormais, la profondeur de l'enrobage est correctement lue dans la boîte de dialogue Contraintes de conception par défaut et le paramètre permettant de déterminer si cela s'applique à la sous-face ou à la couronne du conduit est respecté. Notez que l'option 'Table' dans cette boîte de dialogue n'est actuellement pas prise en charge. Un problème qui empêchait l'option Dégradé unique = Faux de fonctionner correctement a été résolu. Les boutons d'aide qui se trouvent dans certaines boîtes de dialogue appellent désormais correctement l'aide. Le préfixe que vous pouvez saisir lors du placement d'une zone de captage/étang/LID, écrasant le préfixe par défaut, est désormais correctement utilisé pour le nom de l'élément.

Améliorations de l'aperçu technologique

    Intégration de la définition d'entité ponctuelle avec Component Center. Améliorations du constructeur et de l'éditeur de géométrie :
      Boîte de dialogue de reconfiguration. Ajouts de spirales.
      Ajout de l'icône Asset Manager à l'onglet Accueil sur le ruban Exportation améliorée d'Asset Manager vers le fichier SHP pour inclure les affectations de type d'élément définies sur les éléments à l'intérieur d'une cellule.
      Permet l'utilisation de graphiques MicroStation. Plusieurs méthodes d'élévation ont été ajoutées.

    Ce qui suit résume les nouvelles fonctionnalités et améliorations de 2018 Release 4.

      Mise à jour de Power Platform vers la mise à jour 11 CONNECT Edition (V10.11.00.38). La version de MicroStation correspondante est (V10.011.00.36). La licence CONNECT est utilisée. Pour plus d'informations : Licence CONNECT. Comprend la mise à jour 11 de l'édition CONNECT de Bentley LumenRT Designer. Comprend la mise à jour 2 de l'édition CONNECT de Bentley Descartes (V10.09.00.38). Mise à jour de gINT Civil Tools CONNECT Edition Update 1 (V10.02.01.13). Prise en charge de l'édition suivante de ProjectWise Connect (V10.00.03.140). Accédez à l'aide en ligne. Les DGN avec des modèles civils sont marqués avec le produit de création, c'est ce qu'on appelle l'alignement de produit. Le DGN est soit OpenRoads, soit OpenRail. Pour plus d'informations, veuillez consulter : Alignement des produits. La publication d'iModels à partir de DGN, y compris les modèles Subsurface Utility, prend désormais en charge le service de composition iModel dans ProjectWise.
      Possibilité de ne pas afficher de flèche de pente lorsque la pente est plate. L'enquête utilise des distances de course métriques pour les données impériales. L'annulation de la boîte de dialogue PW Select File fait apparaître la mauvaise boîte de dialogue Windows. Fonctionnalités avec courbes B-Spline non affichées comme prévu.
      Outil de transposition de géométrie. L'outil Point de géométrie est amélioré pour obtenir des élévations à partir de terrains, de maillages et de profils verticaux. Les points de géométrie peuvent désormais être placés avec une rotation par rapport à un alignement. Importez des points de géométrie à partir d'un fichier ascii de station/décalage/élévation. Ajout d'un rapport XML Geometry Point qui rapporte sur la géométrie et les points de topographie. L'outil Copier vertical a été ajouté pour répliquer la géométrie dans le même horizontal ou dans un autre morceau de géométrie verticale.
      Créer le format HEC-RAS est maintenant à l'accès général. Analyser le rapport d'altitude a été amélioré pour montrer quand les points sont en dehors de la tolérance.
      Les composants de superposition autorisent désormais les composants vides. Les composants peuvent désormais être un vide et créés avec une seule instance. Ajout d'une ligne de cote temporaire de décalage vertical aux coupes transversales dynamiques des couloirs. Le texte de cote temporaire de la section dynamique ne se redimensionne pas lors du réglage du taux de zoom. L'élargissement de la courbe permet désormais d'ajouter une distance définie en plus de la longueur de la spirale.

    Améliorations de la production de dessins et de l'annotation

      Le rayon équivalent peut être annoté dans le profil. La distance horizontale de VPC à VPI peut être annotée dans le profil.

    Améliorations des services publics souterrains

      Cette version utilise OpenFlows SewerGEMS version 10.02.00.52. Les performances de l'outil Extract Utility from Graphics ont été améliorées. Auparavant, chaque paire de points le long de la trajectoire du conduit était représentée sous la forme d'une ligne à deux points, chacune ayant des règles associées. Maintenant, les points le long du chemin sont représentés comme des coudes le long d'une seule ligne. La disponibilité des différentes licences pouvant être activées dans Subsurface Utilities (par exemple, CivilStorm, SewerCAD) peut désormais être configurée par l'administrateur du site, à l'aide de CONNECT Licensing. Auparavant, Subsurface Utilities ne savait pas si une licence pour l'un de ces produits était disponible ou non, donc un message générique vous indiquant que l'utilisation serait enregistrée et que des frais supplémentaires pourraient survenir, s'affichait. Désormais, la disponibilité est contrôlée par CONNECT Licensing, ce qui signifie que vous pouvez voir exactement quelles licences de produits et quels niveaux de fonctionnalités (nombre d'entrées ou de liens) sont disponibles. La possibilité de définir le bassin versant parent pour un développement à faible impact est désormais disponible, ce qui signifie que ces types d'éléments peuvent être configurés correctement dans Subsurface Utilities. Les icônes Structures de sortie composites et Développement à faible impact sur le ruban Composants ont été agrandies pour les rendre plus faciles à trouver. Les DGN référencés qui contiennent des données Subsurface Utilities étaient chargés comme s'ils étaient activés, provoquant des invites pour synchroniser les données, suivies d'une exception. La modification des scénarios peut entraîner une désynchronisation des données graphiques et des données correspondantes dans la base de données. Un projet utilitaire créé dans un DGN sans utiliser le fichier de départ correct a causé des problèmes lors de la publication d'un iModel. Cette situation est maintenant testée et un message d'erreur s'affiche si les variables SUDA_SEED_FILE et SUDA_SEED_MODEL ne fournissent pas une graine appropriée. Les cellules des nœuds pourraient subir une rotation incorrecte dans le modèle 2D si leurs éléments de classe de construction utilisaient Bylevel, par opposition à une symbologie spécifique. Les résultats d'une requête n'étaient pas mis en évidence dans le modèle 2D. Un blocage de l'outil Définir la définition d'entité qui s'est produit lorsqu'il était utilisé sur un plus grand nombre de nœuds. Les performances étaient affectées négativement par un modèle de terrain de grande taille, s'il était activé. La détection de conflit ne trouvait pas de conflits si l'un des éléments en conflit se trouvait dans un fichier de référence. Une exception qui s'est produite lors de l'utilisation de Reconnect Link pour déplacer un lien entre des nœuds si un seul des deux nœuds avait une définition d'entité.

    Améliorations de l'aperçu technologique

      Ajout d'un générateur et d'un éditeur de géométrie pour créer des parcelles et des plats. Geometry Builder autorise les entrées de différentes unités de mesure et convertit les entrées en unités principales DGN. Par exemple : tiges, perches et chaînes. Création d'un diagramme Mass Haul basé sur les maillages 3D Cut and Fill prismoïdaux. Exportez des modèles de maillage de couloir 3D au format IFC générique. Ajoutez des équations de station internes et uniques. Possibilité de cibler et de profiler un modèle de réalité, un fichier 3sm extrait au sol. Gestionnaire d'actifs. Possibilité d'étiqueter en vrac avec le stationnement. Possibilité d'exporter vers un fichier Shape. Gestionnaire de favoris de texte. Exporter vers MaXML.

    Ce qui suit résume les nouvelles fonctionnalités et améliorations de 2018 Release 3.

      Mise à jour de Power Platform vers la mise à jour 10 CONNECT Edition (V10.10.00.28). La version de MicroStation correspondante est (V10.010.00.23). Comprend la mise à jour 10 de l'édition CONNECT de Bentley LumenRT Designer. Comprend la mise à jour 2 de l'édition CONNECT de Bentley Descartes (V10.08.00.27). Mise à jour de gINT Civil Tools CONNECT Edition Update 1 (V10.01.01.21). Prise en charge des éditions suivantes de ProjectWise Connect (V10.0.03.49) et amp (V10.00.03.140). Optimisation du chargement de la boîte de dialogue Propriétés des entités de maillage. La méthode des moindres carrés est ajoutée à l'outil Transformer.
      Problème résolu sur l'attribut personnalisé sur les remplacements d'enquête. Correction d'un problème dans l'explorateur lors de l'activation et de la désactivation de la définition de fonctionnalité pour l'enquête.
      Localiser les points de géométrie via les méthodes Points sur courbe, Résection angulaire et Points d'intersection. Ajout d'une description aux points de géométrie avec LandXML Import. Les rapports XML affichent les descriptions des points géométriques'. L'éditeur de table affiche les valeurs K, la pente arrière, la longueur de la tangente arrière et permet une géométrie définie parabolique et/ou par arc pour la géométrie verticale. La géométrie horizontale dans l'éditeur de table affiche désormais des colonnes pour la station, le relèvement arrière, la longueur de la tangente arrière. Ajout d'un bouton Rapport et d'un avertissement sur les normes de conception dans l'éditeur de table. Le tableau des vitesses affiche la pente maximale de l'alignement vertical. Possibilité d'importer, de copier et de projeter les informations du tableau de vitesse. Autoriser le profil du projet à l'élément et les outils Plage de profil du projet à l'élément permettent désormais la sélection d'éléments à partir d'un fichier de référence.

    L'outil Créer des volumes de remblai coupé a été amélioré pour utiliser des maillages en vedette dans l'analyse. Il n'est plus nécessaire de créer un modèle de terrain pour le niveau brut proposé.

    Améliorations des performances de l'outil Créer un remplissage coupé.

    Les options de déblai et de remblai <volume> ont maintenant un paramètre pour définir les facteurs de déblai et de remblai pour celui qui convient.

    Ajout de la possibilité de diviser un matériau inapproprié lors de la création de maillages de coupe et de remplissage. Cela autorise des valeurs distinctes pour les matériaux inappropriés "Removed Only" et "Removed and Replaced".

    Résolution d'un problème où les règles d'affichage des composants produisaient des résultats incorrects.

    Performances du corridor corrigées avec des ensembles de données spécifiques.

    Améliorations de la production de dessins et de l'annotation

      Ajout de la possibilité de placer des cellules (flèches nord) sur les modèles de dessin de plan. Les élévations d'alignement vertical sont affichées sur les annotations d'alignement de plan.

    Améliorations des services publics souterrains

      Cette version utilise la version 10.01.01.04 de Haestad et inclut l'ensemble de correctifs cumulatifs du 19/09/18. La fonctionnalité d'annotation tabulaire est désormais disponible pour les dessins de profil de Subsurface Utilities. Cela utilise les favoris de texte, qui peuvent déjà être utilisés pour l'annotation de plan, pour fournir à la fois la valeur et la mise en forme de l'annotation. La cellule 2D utilisée pour dessiner un nœud dans le plan est maintenant dessinée en utilisant tous les éléments de la cellule, y compris le texte, les hachures, etc. Auparavant, seul un sous-ensemble des éléments que la cellule contenait était dessiné. Si une tempête ou un élément sanitaire est sélectionné dans les graphiques, ou n'importe où ailleurs (comme les propriétés d'un scénario) qui affiche des informations dans l'onglet Analyse hydraulique des propriétés des services publics, cet onglet s'affiche désormais automatiquement au-dessus de l'onglet Services publics souterrains.

    Améliorations de l'aperçu technologique

      Ajout d'un générateur et d'un éditeur de géométrie pour créer des parcelles et des plats. Création d'un diagramme Mass Haul basé sur les maillages 3D Cut and Fill prismoïdaux. Créez le format HEC-RAS pour exporter les données pour une analyse plus approfondie des cours d'eau et des rivières. Exportez des modèles 3D au format IFC. (Basé sur le schéma IFC4 2 et la visionneuse doit prendre en charge cette version.) Ajoutez des équations de station internes et uniques. Gestionnaire d'actifs. Gestionnaire de favoris de texte. Exporter vers MaXML.

    Versions précédentes d'OpenRoads Designer

    2018 Release 2 (anciennement Update 4)

      Mise à jour de Power Platform vers la mise à jour 10 CONNECT Edition (V10.10.00.23). La version de MicroStation correspondante est (V10.010.00.23). Comprend la mise à jour 10 de l'édition CONNECT de Bentley LumenRT Designer. Comprend la mise à jour 2 de l'édition CONNECT de Bentley Descartes (V10.08.00.22). Mise à jour de gINT Civil Tools CONNECT Edition Update 1 (V10.01.01.06). Prise en charge des éditions suivantes de ProjectWise Connect (V10.0.03.49) et amp (V10.00.03.14X).
      Ajout d'un utilitaire pour fusionner les carnets de terrain. Possibilité de créer une chaîne linéaire en saisissant une liste de points pour créer une chaîne d'enquête (exemple, AC100-AC109, AC100-AC101, AC104-AC106, etc.) Possibilité d'afficher les décorateurs d'enquête dans des quadrants individuels, en imitant le comportement dans (SELECTseries 4 ). Possibilité de placer Survey Point en tant que cellule au niveau du modèle d'élément appelé par la définition d'entité lorsque la cellule a été définie avec des éléments au niveau "Par défaut". Cela imite le comportement de MicroStation et permet d'utiliser une définition de cellule lorsque les points de relevé doivent être à différents niveaux. Ajout d'une commande Fermer RECT.
      L'outil Sight Visibility est amélioré pour utiliser le tableau de vitesse d'alignement pour calculer la vitesse instantanée à une station donnée. L'outil de visibilité visuelle permet désormais d'effectuer l'analyse via des équations. L'outil d'aquaplaning prévisualise désormais les lignes de flux et permet l'acceptation des résultats. L'aquaplaning permet désormais de sélectionner un graphique de pente de trace manuel.
      Tous les points de géométrie reçoivent un nom et incluent désormais un champ de description. Les éléments géométriques accrochés aux points géométriques affichent désormais le nom du point sous les informations sur les éléments. Les éditeurs de tableaux horizontaux et verticaux sont passés de l'aperçu technique à la version commerciale.
      Les composants de gabarit prennent désormais en charge les arcs et les composants circulaires. Cible L'aliasing de cette cible Linéaire XY, Z, un type de cible XYZ vous permet désormais de charger toutes les cibles dans le DGN sans les ajouter en tant que référence de couloir. L'outil charge initialement les références de corridor par défaut. Amélioration des performances lors de l'initialisation du traitement des corridors et des modèles linéaires. Options de volume supplémentaires : Inadapté, Découper, Remplir et Substrat a été ajouté. L'outil Créer des volumes de remblai coupé prend désormais en compte l'option de volume dans la définition d'entité. Cela permet également à l'outil Déblai et remblai de prendre en compte les matériaux inappropriés et d'automatiser le remplissage des définitions d'entités de déblai et de remblai. Créer des volumes de remplissage coupé a été amélioré pour exécuter des maillages en vedette. Cela permettra la création de la coupe et du remblai à partir du modèle 3D. Il n'est plus nécessaire de créer un modèle de terrain pour le niveau brut proposé. Un rapport de volume de zone d'extrémité basé sur le modèle 3D et le groupe de limites de nom de coupe peut désormais être généré. Le rapport de transport de masse peut être généré à l'aide de l'outil de rapport MasshaulTOTIW.xml avec End Area Volume. Les tables de taux de dévers importées peuvent désormais être visualisées et modifiées dans l'outil Créer/Modifier un fichier de règles de dévers. Ajout de l'outil Modèle d'affichage. Possibilité d'importer un modèle à partir de graphiques contenant des arcs.

    Améliorations de la production de dessins et de l'annotation

      Possibilité de placer des grilles de coordonnées sur des modèles et des feuilles de dessin de plan. Les annotations encadrées de profil pour la courbure permettent désormais d'utiliser l'amplitude de la courbe en fonction d'un rapport entre la hauteur de ligne et la courbe. L'annotation de cadre permet des coches au lieu de lignes verticales dans une ligne de cadre. Possibilité de désactiver le nom de l'équation de la station à partir de l'alignement et des étiquettes annotés. La possibilité de placer des étiquettes indépendamment de la vue est ajoutée.
      Mise à jour de Power Platform vers la mise à jour 8 (V10.08.00.34). La version MicroStation correspondante est V10.08.00.37. Comprend la mise à jour 4 de l'édition CONNECT de Bentley LumenRT Designer. Comprend la mise à jour 2 de l'édition CONNECT de Bentley Descartes (V10.06.00.32). Mise à jour de gINT Civil Tools CONNECT Edition Update 1 (V10.01.01.03) . Outil de transformation permettant de déplacer les modèles de terrain, les points de géométrie, la géométrie horizontale et verticale et les graphiques. Ajout de la configuration pour modifier les abréviations des points de géométrie et des ensembles de courbes afin de répondre rapidement aux exigences locales et/ou du client. Cette configuration modifiera ces abréviations lors de l'annotation et du reporting. Pour plus d'informations, consultez :
        C:ProgramDataBentleyOpenRoads Designer CEConfigurationOrganization-Civil\_Civil Default Standards - Imperial.cfg C:ProgramDataBentleyOpenRoads Designer CEConfigurationOrganization-Civil\_Civil Default Standards - Metric.cfg
        Ajout de la prise en charge de l'importation de fichiers MX INP. Les rapports sur les réductions d'enquêtes incluent désormais la possibilité de faire des rapports avant les ajustements effectués. Les propriétés de Survey Dgnlibs attachées sont maintenant exposées dans l'explorateur et les propriétés. Autoriser l'importation de fichiers SDR de plus de 16 caractères. Autoriser l'importation de fichiers Leica GSI. Résolution d'un code PC JPT créant une courbe au lieu d'une ligne. Correction pour corriger les étiquettes du décorateur du déplacement de l'observation.
        Comprend un outil de visibilité visuelle avec rapport. L'outil de vérification des points a été ajouté pour interroger le modèle de terrain par rapport aux lignes 3D et rendre compte de la variance entre les deux.
        Ajout d'un éditeur tabulaire pour la géométrie horizontale et verticale (Aperçu technologique). L'outil de décalage horizontal comprend une bascule pour supprimer la règle de décalage lors du placement. Permettre la possibilité de rogner et d'étendre aux éléments de base d'un complexe. Cela facilite la définition d'un nouveau chemin avec la commande Redéfinir le complexe. Possibilité d'ajouter une ou plusieurs tables de vitesse à la géométrie horizontale. Correction de l'outil Vertical > Line to element to tool pour suivre correctement le décalage vertical de l'élément. Import LandXML respecte désormais les paramètres décimaux régionaux. Exporter LandXML inclura désormais le profil actif si le profil n'est pas nommé. L'importation d'un GPK ajoutait une équation de station supplémentaire à tort résolue. Correction d'un plantage avec l'outil Civil Accudraw>Profile/Offset. L'annotation automatique basculée est désormais respectée lorsque l'outil Définir la définition d'entité est utilisé.
        La liste de sélection de Contrôle de point inclut désormais tous les points nuls, même si la définition d'entité du projet 3D a des points nuls désactivés. La boîte de dialogue d'alias de cible inclut désormais des bascules pour charger toutes les cibles pour les types de cibles XY, XYZ et Z. Cela permet de sélectionner des alias qui ne sont pas des références de corridor. La possibilité de créer une tranche 3D du modèle en vue de profil est désormais un outil d'accès général. Nouvel outil pour créer une tranche 3D via 2 points pour limiter la station et la plage d'élévation de la "COUPE 3D du modèle" en vue de profil. La modification des points de modèle dans l'ITL a été optimisée dans l'ouverture de la boîte de dialogue Propriétés du point, ce qui élimine le retard à l'ouverture avec de grands espaces de travail. Placement corrigé des composants du modèle de surface lorsque le modèle de terrain provient d'une métrique dans un ensemble de données impériales. Modèles linéaires fixes pour accepter les références de projet 3D pour piloter les contraintes de définition d'entité. L'outil d'ajustement vertical de superposition reconnaîtra les couloirs dans le fichier DGN référencé. Les composants de superposition signalent désormais un volume dans les propriétés. Résolution d'un plantage lors de la suppression de points de modèle d'une manière spécifique avec des données spécifiques. Corridor Object > Template Drops pour apparaître en texte rouge lorsque la copie locale diffère du fichier ITL. Résolution de la section dynamique ne respectant pas l'utilisation des décalages actuels.

      Améliorations de la production de dessins et de l'annotation

        Ajout du diagramme de dévers aux données tabulaires dans les feuilles de profil. Ajout d'une propriété aux annotations pour qu'elles soient indépendantes de la vue, pour contrôler la rotation du texte dans les modèles de conception, de dessin et de feuille. L'annotation de cadre de profil inclut désormais la courbure horizontale. Ajout de la possibilité pour les limites nommées d'hériter de la symbologie des valeurs de départ de feuille. L'annotation des types de courbes verticales a été inversée pour la géométrie verticale correspondante (Sag/Crest). Ajout de la possibilité de sélectionner un texte favori pour les étiquettes de station et de référence pour la grille de section transversale, permettant de personnaliser le format et la précision de la station et de l'élévation. Ajout de la possibilité de sélectionner un texte favori pour les étiquettes de station et de référence dans les profils, permettant de personnaliser le format et la précision de la station et de l'élévation.Placement corrigé des limites nommées lorsque le DGN a des UOR différentes de celles du fichier DGNLIB d'origine de la feuille. Espacement des annotations corrigé lorsque différents UOR sont utilisés. Filtrage corrigé des segments de section valides à partir de l'annotation.

      Amélioration des services publics souterrains

      Cette version de Subsurface Utilities est basée sur la mise à jour 1 de Haestad CONNECT Edition (10.01.00.70).

      Améliorations de l'hydraulique et de l'hydrologie

        L'outil Nouveaux scénarios d'événements de tempête introduit dans la mise à jour 2 a été amélioré. Il vous permet désormais de choisir les périodes et durées de retour à utiliser à partir des données de tempête IDF, et de les convertir en hauteurs de pluie, avant de créer les événements de tempête, les scénarios, les alternatives et les options de calcul nécessaires aux simulations. Un support a été ajouté pour les données pluviométriques du UK Flood Estimation Handbook, qui peuvent être calculées en spécifiant des valeurs appropriées pour les six descripteurs de bassin versant. Cela calcule les données IDF, qui peuvent ensuite être utilisées en combinaison avec un profil de tempête approprié pour créer des données de précipitations à utiliser dans les simulations. Un support a été ajouté pour les données pluviométriques du Bureau australien de météorologie, qui peuvent être téléchargées sous forme de fichier CSV. Cela fournit des données IDF (les données DDF sont automatiquement converties) qui peuvent ensuite être utilisées en combinaison avec un profil de tempête approprié pour créer des données de précipitations à utiliser dans les simulations. Des périodes de retour supplémentaires peuvent désormais être ajoutées aux formats de données de tempête IDF du rapport d'études des inondations au Royaume-Uni et du manuel d'estimation des inondations. Une période de retour de 75 ans est désormais ajoutée automatiquement. Les données d'événements de tempête stockent désormais le nom de la bibliothèque et le profil de tempête utilisés pour les créer, afin de faciliter la visualisation de la manière dont elles ont été créées. La possibilité de trier les FlexTables hydrauliques pertinentes dans l'ordre dendritique a été ajoutée.

      Les définitions d'entités pour les éléments hydrauliques (tempêtes et sanitaires) prennent désormais en charge la sélection d'un sous-ensemble des extensions de données utilisateur (UDX) disponibles. À titre d'exemple d'utilisation, vous pouvez configurer deux champs UDX pour l'assise des canalisations - un pour les drains porteurs et un pour les drains filtrants - et choisir celui qui convient pour chaque définition de fonction de conduit. Cela garantirait que seuls les types de litière valides sont disponibles pour chaque type de conduit.


      11.4 Comprendre la pente d'une ligne

      Au fur et à mesure que nous avons tracé des équations linéaires, nous avons vu que certaines lignes s'inclinent vers le haut lorsqu'elles vont de gauche à droite et que certaines lignes s'inclinent vers le bas. Certaines lignes sont très raides et certaines lignes sont plus plates. Qu'est-ce qui détermine si une ligne est inclinée vers le haut ou vers le bas, et si son inclinaison est raide ou plate ?

      La pente de l'inclinaison d'une ligne s'appelle la pente de la ligne. Le concept de pente a de nombreuses applications dans le monde réel. La pente d'un toit et la pente d'une autoroute ou d'une rampe pour fauteuil roulant ne sont que quelques exemples dans lesquels vous voyez littéralement des pentes. Et lorsque vous faites du vélo, vous sentez la pente lorsque vous montez ou descendez en côte.

      Utiliser des géoplans pour modéliser la pente

      Dans cette section, nous allons explorer les concepts de pente.

      L'utilisation d'élastiques sur un géoplan donne un moyen concret de modéliser des lignes sur une grille de coordonnées. En étirant un élastique entre deux piquets d'un géoplan, on peut découvrir comment trouver la pente d'une ligne. Et quand tu fais du vélo, tu Ressentir la pente lorsque vous pompez en montée ou en descente.

      Mathématiques de manipulation

      Nous allons commencer par étirer un élastique entre deux chevilles pour former une ligne, comme illustré à la figure 11.17.

      Maintenant, nous étirons une partie de l'élastique vers le haut à partir de la cheville gauche et autour d'une troisième cheville pour former les côtés d'un triangle rectangle, comme illustré à la figure 11.18. Nous faisons soigneusement un angle de 90 ° 90 ° autour du troisième piquet, de sorte qu'un côté soit vertical et l'autre horizontal.

      Pour trouver la pente de la ligne, nous mesurons la distance le long des jambes verticales et horizontales du triangle. La distance verticale est appelée la se lever et la distance horizontale est appelée la Cours , comme le montre la figure 11.19.

      Pour vous aider à vous souvenir des termes, il peut être utile de penser aux images présentées à la figure 11.20.

      Quelle est la course? Assurez-vous de compter les espaces entre les piquets plutôt que les piquets eux-mêmes ! L'élastique traverse 3 3 espaces sur la jambe horizontale, donc la course est de 3 3 unités.

      La pente d'une droite est le rapport entre la montée et la descente. La pente de notre droite est donc 2 3 . 2 3 . En mathématiques, la pente est toujours représentée par la lettre m . m.

      Pente d'une ligne

      La pente d'une droite est m = course ascendante. m = course ascendante.

      La montée mesure le changement vertical et la course mesure le changement horizontal.

      Quelle est la pente de la ligne sur le géoplan de la figure 11.21 ?

      Lorsque nous travaillons avec des géoplans, c'est une bonne idée de prendre l'habitude de partir d'un piquet à gauche et de se connecter à un piquet à droite. Ensuite, nous étirons l'élastique pour former un triangle rectangle.

      Si nous commençons par monter, la hausse est positive, et si nous l'étirons vers le bas, la hausse est négative. Nous compterons le run de gauche à droite, tout comme vous lisez ce paragraphe, donc le run sera positif.

      Étant donné que la formule de pente a une montée sur course, il peut être plus facile de toujours compter la montée en premier, puis la course.

      Exemple 11.30

      Quelle est la pente de la ligne sur le géoplan montré?

      Solution

      Utilisez la définition de pente.

      Commencez par la cheville gauche et formez un triangle rectangle en étirant l'élastique vers le haut et vers la droite pour atteindre la deuxième cheville.

      Comptez la montée et la course comme indiqué.

      La hausse est de 3 unités. m = 3 run Le run est de 4 unités . m = 3 4 La pente est 3 4 . La hausse est de 3 unités. m = 3 run Le run est de 4 unités . m = 3 4 La pente est 3 4 .


      Ligne de meilleur ajustement (méthode des moindres carrés)

      UNE ligne de meilleur ajustement est une ligne droite qui est la meilleure approximation de l'ensemble de données donné.

      Il est utilisé pour étudier la nature de la relation entre deux variables. (Nous ne considérons ici que le cas bidimensionnel.)

      Une ligne de meilleur ajustement peut être grossièrement déterminée à l'aide d'une méthode du globe oculaire en traçant une ligne droite sur un nuage de points de sorte que le nombre de points au-dessus de la ligne et en dessous de la ligne soit à peu près égal (et la ligne passe par autant de points que possible) .

      Une façon plus précise de trouver la ligne de meilleur ajustement est la méthode des moindres carrés .

      Utilisez les étapes suivantes pour trouver l'équation de la droite la mieux ajustée pour un ensemble de paires ordonnées ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . ( x n , y n ) .

      Étape 1 : Calculez la moyenne des valeurs x et la moyenne des valeurs y.

      X ¯ = &somme i = 1 n x i n Y ¯ = &somme i = 1 n y i n

      Étape 2 : La formule suivante donne la pente de la droite de meilleur ajustement :

      Étape 3 : Calculez l'ordonnée à l'origine de la ligne en utilisant la formule :

      Étape 4 : Utilisez la pente m et l'ordonnée à l'origine b pour former l'équation de la droite.

      Utilisez la méthode des moindres carrés pour déterminer l'équation de la droite la mieux ajustée pour les données. Tracez ensuite la ligne.

      X 8 2 11 6 5 4 12 9 6 1
      oui 3 10 3 6 8 12 1 4 9 14

      Calculez les moyennes des valeurs x et des valeurs y.

      Calculez maintenant x i &moins X ¯ , y i &moins Y ¯ , ( x i &moins X ¯ ) ( y i &moins Y ¯ ) , et ( x i &moins X ¯ ) 2 pour chaque i .

      je x je oui je x i &moins X ¯ y i &moins Y ¯ ( x i &moins X ¯ ) ( y i &moins Y ¯ ) ( x i &moins X ¯ ) 2
      1 8 3 1.6 &moins 4 &moins 6,4 2.56
      2 2 10 &moins 4,4 3 &moins 13,2 19.36
      3 11 3 4.6 &moins 4 &moins 18,4 21.16
      4 6 6 &moins 0,4 &moins 1 0.4 0.16
      5 5 8 &moins 1,4 1 &moins 1,4 1.96
      6 4 12 &moins 2,4 5 &moins 12 5.76
      7 12 1 5.6 &moins 6 &moins 33,6 31.36
      8 9 4 2.6 &moins 3 &moins 7,8 6.76
      9 6 9 &moins 0,4 2 &moins 0,8 0.16
      10 1 14 &moins 5,4 7 &moins 37,8 29.16
      &somme i = 1 n ( x i &moins X ¯ ) ( y i &moins Y ¯ ) = &moins 131 &somme i = 1 n ( x i &moins X ¯ ) 2 = 118,4

      m = &somme i = 1 n ( x i &moins X ¯ ) ( y i &moins Y ¯ ) &somme i = 1 n ( x i &moins X ¯ ) 2 = &moins 131 118,4 &asymp &moins 1,1

      Calculer l'ordonnée à l'origine.

      Utilisez la formule pour calculer l'ordonnée à l'origine.

      Utilisez la pente et l'ordonnée à l'origine pour former l'équation de la droite la mieux ajustée.


      Voir la vidéo: Kahden pisteen välinen etäisyys tai janan pituus (Octobre 2021).