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2.7 : Signification des nombres de Reynolds et des nombres de Froude - Géosciences


Un aperçu supplémentaire de la signification des nombres de Reynolds et des nombres de Froude est fourni en montrant que les variables sans dimension de cette forme surviennent toujours dans les problèmes impliquant des forces visqueuses et des forces de gravité. Mais d'abord, je veux m'assurer que vous savez ce qu'est une équation de mouvement.

Équations du mouvement

le équation du mouvement pour un corps de matière, qu'il soit solide ou fluide, qu'il soit discret ou continu, n'est que la deuxième loi de Newton écrite pour ce corps. Vous écrivez la somme de toutes les forces agissant sur le corps et définissez cette somme égale à la masse multipliée par l'accélération. L'équation du mouvement pour un milieu continu comme un fluide se révèle être une équation différentielle. Pourquoi? Parce que pour dériver l'équation, vous devez l'écrire pour un élément de fluide de volume fini, puis regarder ce qui arrive à l'équation lorsque l'élément de volume se rétrécit jusqu'à un point.

Pensez à l'équilibre des forces sur un petit élément de fluide dans tout problème d'écoulement de fluide (par exemple, celui d'une sphère se déplaçant près d'une surface libre) qui implique des forces de cisaillement du fluide et également des forces de gravité qui ne sont pas simplement compensées par la pression hydrostatique . Quelle que soit la nature exacte du problème, la deuxième loi de Newton doit être valable pour ce petit élément de fluide, nous pouvons donc lui écrire une équation générale du mouvement en mots :

[egin{array}{l}{ ext { force visqueuse }+ ext { force de gravité }+ ext { toute autre force }}{= ext { taux de changement de quantité de mouvement }}end{array} label{2.11} ]

Tous les termes de cette équation ont les mêmes dimensions, nous pouvons donc diviser tous les termes par n'importe lequel d'entre eux pour obtenir une équation avec tous les termes sans dimension. En divisant par le terme à droite,

[frac{ ext { force visqueuse }}{ ext { ROC de quantité de mouvement }}+frac{ ext { force de gravité }}{ ext { ROC de quantité de mouvement }}+frac{ ext { autres forces }}{ ext {ROC de la quantité de mouvement }} = 1 label{2.12} ]

Quelle sera la forme des deux premiers termes sans dimension du côté gauche de l'équation ef{2.12}, en termes de variables représentatives qui pourraient être impliquées dans un problème d'écoulement donné ? En supposant qu'il existe une variable de longueur caractéristique (L) dans le problème comme une taille de sphère ou une profondeur d'écoulement, et une certaine vitesse caractéristique (V) comme la vitesse d'approche dans l'écoulement devant une sphère ou la vitesse moyenne ou la vitesse de surface dans écoulement dans un canal, alors le taux de changement de quantité de mouvement, qui a des dimensions de quantité de mouvement divisées par un temps caractéristique (T), peut être écrit comme proportionnel à (rho L^{3} V / T). (Rappelez-vous que la masse peut être exprimée comme la densité multipliée par le volume et le volume comme le cube d'une longueur.) Et cela peut encore être écrit (rho L^{2} V^{2}), car la vitesse a les dimensions (L/T). La force visqueuse est le produit de la contrainte de cisaillement visqueuse et de la zone sur laquelle elle agit. L'aire est proportionnelle au carré de la longueur caractéristique, et par l'équation 1.3.7 la contrainte de cisaillement est proportionnelle à la viscosité et au gradient de vitesse, donc la force visqueuse est proportionnelle à (mu(V / L) L^{2 }), ou (mu VL). Le premier terme de l'équation ef{2.12} est alors proportionnel à (mu V L / ho L^{2} V^{2}), ou (mu / ho L V). C'est simplement l'inverse d'un nombre de Reynolds. Le nombre de Reynolds dans tout problème de fluide est donc inversement proportionnel au rapport d'une force visqueuse et d'une quantité avec les dimensions d'une force, le taux de changement de quantité de mouvement, qui est généralement considéré comme une « force d'inertie ».

Qu'en est-il du deuxième terme de l'équation ef{2.12} ? La force de gravité est le poids de l'élément fluide, qui est proportionnel à ( ho g L^{3}). Le second terme est alors proportionnel à ( ho g L^{3} / ho L^{2} V^{2}), ou (g L / V^{2}). C'est le carré de l'inverse d'un nombre de Froude. Le carré du nombre de Froude est donc proportionnel au rapport d'une force de gravité et d'un taux de variation de quantité de mouvement ou d'une « force d'inertie ».

Cela ne vous semble probablement pas un exercice très rigoureux, et ce n'est d'ailleurs pas le cas. Il est uniquement destiné à vous donner une idée générale de la signification des nombres de Reynolds et des nombres de Froude. Au prix d'allonger considérablement ce chapitre, l'équation différentielle générale du mouvement pour l'écoulement d'un fluide visqueux pourrait être dérivée et ensuite rendue sans dimension en introduisant la même longueur caractéristique et la même vitesse caractéristique, ainsi qu'une pression de référence. Vous verriez que le nombre de Reynolds et le nombre de Froude apparaissent alors comme des coefficients du terme de force visqueuse sans dimension et du terme de force de gravité sans dimension, respectivement. C'est ce que fait particulièrement lucidement Tritton (1988, chapitre 7). La valeur d'un tel exercice est qu'alors les amplitudes du nombre de Reynolds et du nombre de Froude vous indiquent si le terme de force visqueuse ou le terme de force de gravité dans l'équation du mouvement peut être négligé par rapport au terme masse multipliée par l'accélération. C'est un moyen productif de simplifier l'équation du mouvement pour avoir un aperçu de la physique de l'écoulement.

Lorsque vous décidez avec quel ensemble de variables sans dimension travailler dans des problèmes comme celui du flux devant une sphère, présenté ci-dessus, il est logique d'utiliser des variables sans dimension qui ont leur propre signification physique, comme les nombres de Reynolds et les nombres de Froude. Dans les chapitres suivants, d'autres variables sans dimension sont introduites qui représentent les rapports de deux forces dans des problèmes spécifiques.

Conclusion

Avant de vous confronter davantage à la physique de l'écoulement au-delà des sphères, vous devez vous familiariser avec un peu plus de matière sur l'écoulement des fluides. La première partie du chapitre suivant, le chapitre 3, est consacrée à ce matériel, avant d'aborder davantage le sujet des sphères d'écoulement passées.

Références citées

  • Buckingham, E., 1914, Sur des systèmes physiquement similaires ; illustrations de l'utilisation des équations dimensionnelles : Physical Review, ser. 2, v. 4, p. 345-376.
  • Buckingham, E., 1915, Modèles d'expériences et formes d'équations empiriques : American Society of Mechanical Engineers, Transactions, v. 37, p. 263-292.
  • Schiller, L., 1932, Fallversuche mit Kugeln und Scheiben, dans Schiller, L., éd., Handbuch der Experimentalphysik, Vol. 4, Hydro-und Aeromechanik, Partie 2, Widerstand und Auftrieb, p. 339-398 : Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft, 443 p.
  • Tritton, D.J., 1988, Physical Fluid Dynamics, 2e édition : Oxford, Royaume-Uni, Oxford University Press, 519 p.

Numéro Froude

Au fur et à mesure que le nombre de Froude augmente, le comportement de l'écoulement change de sorte que l'onde positive créée est si importante qu'elle génère un ressaut hydraulique ( Fig. 7 C) qui est temporairement stationnaire, jusqu'à ce qu'il soit progressivement remplacé par un écoulement supercritique qui initie un nouvelle poussée. De cette manière, aucune libération distincte de débit en aval lors d'une houle négative n'est générée ( Cartigny et al., 2014 ) comme cela se produit pour les antidunes instables. Le lit est ainsi caractérisé par des régions d'écoulement supercritique (chute) et sous-critique (piscine) plus abruptes, chacune séparée par un ressaut hydraulique ( Lang et al., 2020 ). Les sédiments se déposent en suspension en aval du ressaut hydraulique, cette aggradation diminuant la profondeur d'écoulement et forçant le retour d'un ressaut hydraulique vers un écoulement supercritique avec des ondes en phase instables de plus faible amplitude ( Fig. 7 C). La période de cyclicité dans la formation et la destruction des chutes et des mares semble être plus importante que celle associée au déferlement cyclique des antidunes instables ( Cartigny et al., 2014 ). Cependant, la formation de chutes et de bassins apparaît souvent erratique, et la forme du lit peut représenter des instabilités d'écoulement transitoires à la transition entre les antidunes instables et les étapes cycliques aux nombres de Froude intermédiaires ( Cartigny et al., 2014 Lang et al., 2020 ).


Principes d'énergie et de quantité de mouvement

2.1.1 NUMÉRO DE FROUDE

Le nombre de Froude, un nombre sans dimension, est une caractéristique d'écoulement transversal définie comme

Fr = numéro de Froude, V = vitesse, Q = décharge, g = accélération gravitationnelle, = profondeur hydraulique, UNE = zone d'écoulement, et T = largeur supérieure. Le dénominateur, g D , représente la vitesse à laquelle les ondes de gravité se propagent dans les canaux ouverts. Parfois, nous appelons cela célérité des vagues.

Le flux est dit sous-critique si Fr< 1.0, critique si Fr = 1,0, et supercritique si Fr > 1.0. Comme cela deviendra bientôt clair, le comportement hydraulique d'un écoulement à ciel ouvert dépend du fait que l'écoulement est sous-critique ou supercritique.


Dimension moins les nombres :

Le numéro de Reynold:

Il porte le nom de l'ingénieur britannique Osborne Reynolds (1842-1912). Le nombre de Reynolds est défini comme le rapport entre la force d'inertie et la force visqueuse.

Importance: Le nombre de Reynolds signifie la prédominance relative entre l'inertie et les forces visqueuses dans l'écoulement du fluide, c'est-à-dire que plus le nombre de Reynolds est élevé, plus la contribution de l'effet d'inertie sera importante, tandis que, dans le cas d'un nombre de Reynolds plus petit, l'amplitude des forces visqueuses sera plus grande.

Le nombre de Reynolds est toujours important dans les surfaces libres ainsi que sans surfaces libres. Elle n'est négligée que dans les régions d'écoulement éloignées des gradients de vitesse élevés. Elle est applicable en cas d'écoulement incompressible de fluides dans un tuyau fermé, de sous-marins complètement sous l'eau, de mouvement d'avions à air, de jets, d'écoulement de fluide impliquant des forces visqueuses et inertielles, d'écoulement de tuyau et de corps entièrement immergés.

Numéro de Froude :

Il porte le nom d'un architecte naval britannique William Froude (1810-1887). Il développe un modèle de navire sur le concept de réservoir de remorquage et propose des règles de similarité pour les écoulements à surface libre. Le nombre de Froude est le rapport entre la force d'inertie et la force de gravité.

Importance: Son importance principalement dans la résistance des navires, les vagues de surface, le déversoir, les encoches et les canaux ouverts. Le nombre de Froude est dominant dans les surfaces libres uniquement. Il n'a aucune signification s'il n'y a pas de surfaces libres. Il peut également être défini comme le rapport de la vitesse moyenne à la vitesse des petites ondes dans les fluides.

Le nombre d'Euler :

Il est nommé sur Leonhard Euler (1707-1783). Le nombre d'Euler est le rapport entre la force d'inertie et la force de pression.

Importance: Le nombre d'Euler a une importance dans la cavitation, c'est-à-dire lorsque la pression chute suffisamment à la pression de vapeur, mais il est moins important à moins que la pression ne chute suffisamment pour que la pression de vapeur provoque une cavitation dans les liquides.

Numéro Weber :

Il porte le nom de Moritz Weber (1871-1951). Il a développé la loi de la similitude. Le numéro de Weber vient après celui de Reynolds et Froude. Le nombre de Weber est le rapport entre la force d'inertie et la force de tension superficielle.

Importance: Le nombre de Weber n'est significatif que s'il est inférieur à l'unité, ce qui ne se produit que lorsque la courbure de la surface du liquide est très inférieure à la profondeur du liquide où la force de tension superficielle prédomine, par exemple les gouttelettes, les écoulements capillaires, les écoulements sur les déversoirs impliquant une très faible hauteur minces feuilles de liquide s'écoulant sur la surface.

Nombre de Mach :

Il porte le nom d'Ernst Mach, un physicien autrichien (1838-1916). Le nombre de Mach est défini comme le rapport de la force d'inertie à la force élastique.

Importance: Le nombre de Mach a une importance dans l'écoulement compressible des fluides. Il a un effet puissant si sa valeur est supérieure à 0,3, c'est-à-dire une vitesse supérieure à la vitesse du son. Il a une application dans les essais aérodynamiques à haute vitesse. Le nombre de Mach est également appliqué en cas d'écoulement instable comme un coup de marteau.

Tout cela concerne les principaux nombres à cinq dimensions moins utilisés en mécanique des fluides. Si vous avez des questions concernant cet article, posez-les en commentant. Si vous aimez cet article, n'oubliez pas de le partager sur les réseaux sociaux. Abonnez-vous à notre site Web pour des articles plus informatifs. Merci de l'avoir lu.


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Contenu

Le nombre de Rayleigh décrit le comportement des fluides (tels que l'eau ou l'air) lorsque la masse volumique du fluide n'est pas uniforme. Les différences de densité de masse sont généralement causées par des différences de température. Typiquement, un fluide se dilate et devient moins dense lorsqu'il est chauffé. La gravité fait couler les parties les plus denses du fluide, ce qui est appelé convection. Lord Rayleigh a étudié [1] le cas de la convection de Rayleigh-Bénard. [6] Lorsque le nombre de Rayleigh, Ra, est inférieur à une valeur critique pour un fluide, il n'y a pas d'écoulement et le transfert de chaleur est purement par conduction lorsqu'il dépasse cette valeur, la chaleur est transférée par convection naturelle. [2]

Lorsque la différence de masse volumique est causée par la différence de température, Ra est, par définition, le rapport de l'échelle de temps pour le transport thermique diffusif à l'échelle de temps pour le transport thermique convectif à la vitesse u : [3]

Le nombre de Rayleigh peut être écrit comme le produit du nombre de Grashof et du nombre de Prandtl : [3] [2]

Pour la convection libre près d'un mur vertical, le nombre de Rayleigh est défini comme :

X est la longueur caractéristique RaX est le nombre de Rayleigh pour la longueur caractéristique X g est l'accélération due à la gravité β est le coefficient de dilatation thermique (égal à 1/T, pour les gaz parfaits, où T est la température absolue). est la viscosité cinématique α est la diffusivité thermique Ts est la température de surface T est la température de repos (température du fluide loin de la surface de l'objet) GrX est le nombre de Grashof pour la longueur caractéristique X Pr est le nombre de Prandtl

Dans ce qui précède, les propriétés du fluide Pr, ν, α et β sont évalués à la température du film, qui est définie comme :

Pour un flux de chauffage de paroi uniforme, le nombre de Rayleigh modifié est défini comme :

q"o est le flux de chaleur de surface uniforme k est la conductivité thermique. [7]

Alliages solidifiants Modifier

Le nombre de Rayleigh peut également être utilisé comme critère pour prédire les instabilités convectionnelles, telles que les ségrégations A, dans la zone pâteuse d'un alliage en cours de solidification. Le nombre de Rayleigh de la zone pâteuse est défini comme :

K est la perméabilité moyenne (de la partie initiale de la bouillie) L est l'échelle de longueur caractéristique α est la diffusivité thermique ν est la viscosité cinématique R est la vitesse de solidification ou isotherme. [8]

Les ségrégations A devraient se former lorsque le nombre de Rayleigh dépasse une certaine valeur critique. Cette valeur critique est indépendante de la composition de l'alliage, et c'est le principal avantage du critère du nombre de Rayleigh par rapport aux autres critères de prédiction des instabilités convectionnelles, comme le critère de Suzuki.

Torabi Rad et al. ont montré que pour les alliages d'acier, le nombre de Rayleigh critique est de 17. [8] Pickering et al. a exploré le critère de Torabi Rad et vérifié son efficacité. Des nombres de Rayleigh critiques pour les superalliages plomb-étain et nickel ont également été développés. [9]

Média poreux Modifier

Le nombre de Rayleigh ci-dessus correspond à la convection dans un fluide en vrac tel que l'air ou l'eau, mais la convection peut également se produire lorsque le fluide est à l'intérieur et remplit un milieu poreux, comme une roche poreuse saturée d'eau. [10] Ensuite, le nombre de Rayleigh, parfois appelé le Numéro de Rayleigh-Darcy, est différent. Dans un fluide massif, c'est-à-dire non en milieu poreux, d'après l'équation de Stokes, la vitesse de chute d'un domaine de taille l de liquide u Δ ρ l 2 g / η g/eta > . En milieu poreux, cette expression est remplacée par celle de la loi de Darcy u Δ ρ k g / η , avec k la ​​perméabilité du milieu poreux. Le nombre de Rayleigh ou Rayleigh-Darcy est alors

Ceci s'applique également aux ségrégats A, dans la zone pâteuse d'un alliage en train de se solidifier. [11]

Applications géophysiques Modifier

En géophysique, le nombre de Rayleigh est d'une importance fondamentale : il indique la présence et l'intensité de la convection au sein d'un corps fluide tel que le manteau terrestre. Le manteau est un solide qui se comporte comme un fluide à des échelles de temps géologiques. Le nombre de Rayleigh pour le manteau terrestre dû au seul chauffage interne, RaH, est donné par:

H est le taux de production de chaleur radiogénique par unité de masse η est la viscosité dynamique k est la conductivité thermique est la profondeur du manteau. [12]

Un nombre de Rayleigh pour le chauffage inférieur du manteau à partir du noyau, RaT, peut également être défini comme :

ΔTsa est la différence de température superadiabatique entre la température de référence du manteau et la limite noyau-manteau CP est la capacité thermique spécifique à pression constante. [12]

Des valeurs élevées pour le manteau terrestre indiquent que la convection à l'intérieur de la Terre est vigoureuse et variable dans le temps, et que la convection est responsable de presque toute la chaleur transportée de l'intérieur profond vers la surface.


Les nombres sans dimension et leur signification :

Nomenclature:

ρ= Densité du fluide
u= Vitesse du fluide
D= Diamètre du tuyau
μ= Viscosité du fluide
v= Momentum Diffusion/Vitesse
α= Diffusivité de la chaleur
DAB= Diffusivité de masse
cp=Capacité thermique spécifique à pression constante
k= Conductivité thermique du fluide
Lch=Longueur caractéristique
Vch=Vitesse caractéristique
h=Coefficient de transfert de chaleur
K=coefficient de transfert de masse
f=Coefficient de transfert de masse
β=Dilatation Thermique Volumétrique


Profil de vitesse en loi de puissance – Profil de vitesse turbulente

Le profil de vitesse en écoulement turbulent est plus plat dans la partie centrale du tuyau (c'est-à-dire dans le noyau turbulent) que dans écoulement laminaire. La vitesse d'écoulement chute rapidement extrêmement près des parois. Ceci est dû à la diffusivité de l'écoulement turbulent.

En cas d'écoulement turbulent dans la conduite, il existe de nombreux profils de vitesse empiriques. Le plus simple et le plus connu est le profil de vitesse en loi de puissance:

où l'exposant n est une constante dont la valeur dépend de la Le numéro de Reynold. Cette dépendance est empirique et elle est montrée sur l'image. En bref, la valeur n augmente avec l'augmentation du nombre de Reynolds. Le profil de vitesse en loi de puissance d'un septième se rapproche de nombreux flux industriels.


Les nombres sans dimension dans les phénomènes de transport
vs. inertiel Visqueux Thermique Masse
inertiel v Pe PeUN B
Visqueux Re -1 , Pr Sc
Thermique Pe -1 Pr-1 α Le
Masse PeUN B −1 Sc -1 Le -1

Comme exemple général de la façon dont les nombres sans dimension apparaissent en mécanique des fluides, les nombres classiques dans les phénomènes de transport de masse, de quantité de mouvement et d'énergie sont principalement analysés par le rapport des diffusivités effectives dans chaque mécanisme de transport. Les six nombres sans dimension donnent les forces relatives des différents phénomènes d'inertie, de viscosité, de transport de chaleur par conduction et de transport de masse diffusif. (Dans le tableau, les diagonales donnent des symboles communs pour les quantités, et le nombre sans dimension donné est le rapport de la quantité de la colonne de gauche sur la quantité de la ligne supérieure, par exemple Re = force d'inertie/force visqueuse = vd/ν.) Ces mêmes quantités peuvent alternativement être exprimées sous forme de rapports d'échelles caractéristiques de temps, de longueur ou d'énergie. Ces formulaires sont moins couramment utilisés dans la pratique, mais peuvent donner un aperçu d'applications particulières.

Nombres sans dimension dans la formation de gouttelettes
vs. Élan Viscosité Tension superficielle La gravité Énergie cinétique
Élan vd Fr
Viscosité Re -1 , Oh, Ca, La -1 Ga -1
Tension superficielle Oh -1 , Ca -1 , La σ Bo -1 Nous -1
La gravité Fr −1 Géorgie Bo g
Énergie cinétique Nous v 2 j

La formation des gouttelettes dépend principalement de la quantité de mouvement, de la viscosité et de la tension superficielle. [1] Dans l'impression à jet d'encre, par exemple, une encre avec un nombre d'Ohnesorge trop élevé ne serait pas projetée correctement, et une encre avec un nombre d'Ohnesorge trop faible serait projetée avec de nombreuses gouttes satellites. [2] Tous les rapports de quantité ne sont pas explicitement nommés, bien que chacun des rapports sans nom puisse être exprimé comme un produit de deux autres nombres sans dimension nommés.

Tous les nombres sont des quantités sans dimension. Voir un autre article pour une liste complète des quantités sans dimension. Certaines quantités sans dimension d'une certaine importance pour la mécanique des fluides sont données ci-dessous :


2.7 : Signification des nombres de Reynolds et des nombres de Froude - Géosciences

Le nombre de Froude, Fr, est une valeur sans dimension qui décrit différents régimes d'écoulement d'écoulement en canal ouvert. Le nombre de Froude est un rapport des forces d'inertie et de gravitation.

Gravité (numérateur) - déplace l'eau vers le bas

Inertie (dénominateur) - reflète sa volonté de le faire.

D = Profondeur hydraulique (section transversale de l'écoulement / largeur du sommet)

Fr > 1, écoulement supercritique (écoulement rapide rapide),

Fr < 1, flux sous-critique (flux lent / tranquille)

Le nombre de Froude est une mesure des caractéristiques d'écoulement en vrac telles que les vagues, les formes de lit de sable, les interactions écoulement/profondeur à une section transversale ou entre des rochers.

Le dénominateur représente la vitesse d'une petite vague à la surface de l'eau par rapport à la vitesse de l'eau, appelée célérité des vagues. À une vitesse critique, la vitesse d'écoulement est égale à la vitesse d'écoulement. Toute perturbation de la surface restera stationnaire. Dans un flux sous-critique, le flux est contrôlé à partir d'un point aval et l'information est transmise en amont. Cette condition conduit à des effets de remous. Le débit supercritique est contrôlé en amont et les perturbations sont transmises en aval.

La propagation des vagues peut être utilisée pour illustrer ces états d'écoulement : Un bâton placé dans l'eau créera un motif en V de vagues en aval. Si le débit est sous-critique, des ondes apparaîtront devant le bâton. Si le débit est critique, les vagues auront un angle de 45 o. Si l'écoulement est supercritique, aucune vague en amont n'apparaîtra et l'angle de la vague sera inférieur à 45 o .

Noter: Le flux critique est instable et crée souvent des ondes stationnaires entre le flux super et sous-critique. Lorsque la profondeur d'eau réelle est inférieure à la profondeur critique, elle est appelée supercritique car elle est dans un état d'énergie plus élevé. De même, la profondeur réelle au-dessus de la profondeur critique est appelée sous-critique car elle est dans un état d'énergie inférieur.